对数学的思考(zz)

dragon_kai

发信人: NeoDreamer (阿拉丁), 信区: XJTUgrd
对数学的思考
发信站: 兵马俑BBS (Fri Jan  9 12:12:04 2004), 本站(bbs.xjtu.edu.cn)
【 原文由 Grothendieck 所发表 】
最近因为工作关系，看了一些数学书。
我以TAMU的两位教授所著的一本小书为例发表一些浅见。
该书名为A First Course in Wavelets with Fourier Analysis.
(国内有电子工业出版社的影印版本）
一 背景
傅立叶分析是所有理工科学生都多少知道一点的，傅立叶分析的主要内容有
傅立叶级数；傅立叶变换等。傅立叶级数是所有学过工科高等数学课程的学生都
知道的。
而作为电子工程系的学生，对傅立叶分析的掌握程度基本决定了他的信号处理的
水平。
傅立叶分析是调和分析的一个总要分支。最早的三角级数展开是由于解偏微分方
程的需要，在18世纪由法国的工程师兼学者Fourier在其名著 热的解析理论 中
予以详细讨论的。实际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现
代数学的发展，都深具影响。
实变函数论的开创者Lebesgue（1875年生）最早就是通过研究三角级数从而提出
明晰的测度概念并将黎曼积分扩充为Lebesgue积分，从而大大扩充可积函数的范
围的。

三角级数还是产生很多病态函数的温床。
比如1872年，魏尔斯特拉斯就利用三角级数构造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（
对


n＝0，1，。。。求和）。
此函数就是一个处处连续但处处不可导的函数。
而正是对病态函数的研究促成了数学分析的革命。

二 对“分析”的分析
目前国内工科学生学习的数学主要有：
高等数学（主要是18世纪前的一些数学分析的内容，包括一些解析几何）
线性代数
概率统计
复变函数
积分变换
后四门课的名字很明确，基本反映了内容。
但是高等数学这个名字就显得非常含混，究竟什么叫高等数学呢？
实际上正如我前面所说，主要包含一些分析的老的内容。
我现在要问的是，为什么数学分析叫做数学分析？这个问题若搞清楚，就可以从
本质上把握数学分析的体系，而不是在那里被动的被胡涂先生带着做模仿动作了
（陈文灯这种人是要害死中国一代青年的！学数学决不是模仿！！而是要有高屋
建瓴的把握）。

我沿着西方的分析思想，对“分析”二字结合数学分析的内容做一个分析。
如果有人复习数学的话，我下面的一段话对他肯定会大有用处，能否消受，要看
自己的造化了。

分析的英文原文是：analysis
MW字典对其原意的解释是，
separation of a whole into its component parts.
汉语的分析，我们要分析成两个字，第一个字是分，第二个字是析。
据金山词霸。
分的本意是：(会意。从八,从刀。“八”就是分;从“刀”,是以刀剖物,使之分开
的意思。
本义:一分为二)
析的本意是：(会意。从木,从斤。用斧子劈开木头。本义:劈,劈木头)
这两个字都是会意字

所以analysis汉语翻译做“分析”是恰当的。
当然分析一词还有引申义， “将事物、现象、概念分门别类,离析出本质及其
内在联系”

有了以上的认识，我们可以来探讨数学分析的主要任务了。（正是这些任务使
得数学分析成为一个整体，而不是分立概念的罗列）
从集合，映射的观点来看（这些都是19世纪，20世纪的一些观念）
数学分析的主要对象是定义域，值域均是实数集合子集的映射(这种映射基本就
是所谓实变函数的范围，实变函数是一种特殊的函数，而函数是数集间的映射），
所以换句话数学分析的对象是函数，数学分析也可以叫做函数分析。

对于函数的分析，可以有引申意义上的分析，也可以有本意上的分析。大家多侧
重于对引申意义的分析，对本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我们所熟知的
引申意义上的分析。

比如研究了四种特殊的函数性质
1 周期性 2 奇偶性 3 有界性 4 单调性。
这四种特性都是几何上非常直观的。（在数学分析发展的早期，直观是指引人前
进的很好工具）
注意到，在中学利用初等的工具研究了六种初等函数（常数，幂，指，对，三角，
反三角）的某些简单性质（注意简单二字，初等函数的许多性质用初等方法研究
需要相当的技巧，或者说没有一般的规律可循，据说阿基米德在求球体的体积的
时候，就求过几个特殊的简单积分，但是他当时当然没有微积分的明确概念，可
见利用初等数学的工具解决复杂的难题需要专家的技巧，而数学家的任务是寻求
一类问题的规律，或者说是寻求求解过程的公式化和机械化）。

实际上，对大多数函数，用初等数学的方法分析，都很难得出深刻的结论。大家
可能记得在高中为了求出一个函数的极值需要多大的技巧。

人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了大约2000年的时间，到了牛顿和莱布尼
茨的时代，才有了比较明确（但是离严密还差的很远）的极限概念。正是极限的
概念刷新了分析数学的历史，自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比
较合理的基础，这为函数的分析（数学分析的内容）提供了有力的工具。

有了极限的工具，就可以研究函数在局部和无穷远处的发展趋势，这就是从动态
的角度研究函数了。我们知道求极值是对函数分析的重要内容。显然，了解函数
值的变化趋势，对求函数的极值肯定是有好处的。有了极限的概念，就可以刻划
函数的发展趋势。实际上刻划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特
殊的极限－－导数。有了导数，当然可以继续研究高阶导数。

在有了导数以后，为了沟通函数与其各阶导数的性质，就有了中值定理。（我现
在还有疑问，中值定理的出现是否是一种必要性的推动，还是纯理性思考的产物），这
些

中值定理主要是由法，德两国人创立。
我们可以看看中值定理提出者德生卒年，这样可以给我们重要的启示。（依照逻
辑顺序排列）
1 费马定理 Fermat 1601-1665
2 罗尔定理 Rolle 1652-1719（标准教科书证明利用了费马定理）
3 拉各朗日 1736-1813（证明利用了罗尔定理）
4 柯西 1789－1857（证明利用了拉各朗日 定理）
5 落笔大 1661－1704（证明利用了柯西定理）
6 泰勒 1685－1731（证明利用了柯西定理）

现在我们能够看到明确的问题了!
1 从罗尔定理到拉各朗日几乎用了50年以上的时间（由于缺乏详细的史料，我们
自能根据生卒年大致分析），从拉各朗日到柯西也大概用了50年时间。
启发：我们往往惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是事实证明，就是这几个
中值定理，就花了人类100年的时间（请考虑世界上研究数学的人的数目），我们
所看到的逻辑严谨，周密都不过是对历史整理后的假相。当然时代进化到21世纪，
我们不能用18世纪的速度要求人类和自己）。

2 落笔大，泰勒出生都比柯西早100年，何以他们提出的中值定理的证明却利用了
未出生的人的定理呢？
对这个问题，我们可以肯定的是：泰勒的原始证明，落笔大的原始论证都没有用
到柯西定理！！而现在我们所看到的证明是数学史家在对历史进行梳理后的产物！
泰勒，落笔大所用的概念肯定比柯西原始，可能还非常不严密。

这两点对我们的总的启示是，
即使是世界上第一流的头脑，也难以在短时间内创造非常严密的系统的理论。我
们中国的教材在物理，化学上提及了历史但是在数学上却忽略了。
当年我在学习数学分析的时候就非常自卑，为什么别人能够创造这样美妙的体系，
而我们就不行。现在终于明白了。

第二点，数学的发展史使我倾向于直觉主义的数学哲学，也就是原始的数学思想，
来源于人的直觉，尽管这些直觉在天才的脑子里面往往是粗糙的，正如钻石不经
打磨不能耀眼一样。我们应该知道（却没有被老师告知和教材教知）牛顿的原始
的微积分概念是非常含混的和没有稳固基础的。牛顿对无穷小和无限本身就不够
清晰（考虑到他是几百年前的大哥，饶了他），贝克莱大主教攻击牛顿的无穷小
概念在哲学上站不住脚，马克思也抱怨牛顿对高阶无穷小的无端忽略是“暴力镇压”。
我

们所熟知的yipusilon－delta法则是柯西在
牛顿身后几百年才提出的，而对实数集合连续性的讨论是由魏而斯特拉是，
cantor等人完善的，没有上述理论，牛顿的理论是非常不严密的。我们看到的数
学大厦曾经经历了多少次的危机。甚至到今日，数学的基础仍存在严重的危机！！

三 在数学教材中，除了摆事实（用公里化的方法把文章做得花团锦簇一般）自能
使学生成为可怜虫，在事后诸葛亮们得整理下，本来令人佩服得天才成了高不可
攀的神袛。严重打击学生的兴趣和自信。而对历史发展进程的整理也歪曲了数学
发展的真相，使得历史发展的进程被抹煞，本来自然的，可以理解的idea的发展
成为高不可攀的绝妙证明。学生成为一个袖手旁观者，而不是一个数学发展的见
证人和参与者。而我们中国需要的更多的就是这种开拓性人才！！

有了微分，按照惯例，就应该考虑其逆运算。这就是所谓不定积分。这是容易理
解的。对初等函数的研究也是顺理成章的。

许多学生不都把定积分和不定积分混为一谈，认为定积分不过是对不定积分的求
值。但是如果概念清晰的话。

不定积分应该是微分的逆算子。这是逻辑上的必然延续。
但是定积分（严格说是黎曼积分）可以认为是部分和的极限，这种积分可以认为
是从几何直观上求解实际问题时得出的。这样看来，利用部分和极限求级数的和
就本来不是一种技巧，而是当然了）。

我们知道，黎曼积分对可积函数的要求是比较苛刻的，由于在历史上，先研究的
函数都是一些比较漂亮的函数，所以在当时，并没有问题。但是乐贝格出世后，
却在逆反心理的引导下，研究那些性质不那样漂亮的函数（比如狄里赫莱函数，
还有上面提到的维尔斯特拉斯提出的病态函数。）这样就使得测度的概念进一步
明晰。对区间长度的衡量由一个原始的概念过渡到（进化到）集合测度的概念。（canto
r

的集合论研究大概和乐贝格相距不远）

这就是积分的概念。

在积分概念后，数学分析研究了级数。（实际上由于数列是一种特殊形式的函数，
定义域为散点，级数可以认为是积分概念的离散形式）。

对级数的研究分为常项级数和函数级数。其中非常总要的就是三角级数。

实际上在这里，我们可以在分析的本源意义上了解为什么分析叫分析。
回到MW字典的定义：
separation of a whole into its component parts.
我们可以在原意上理解这句话。
数学分析的对象是函数。我们把上述定义中的a whole换做函数function看看。
separation of a function into its component parts.
事情清楚了，数学分析在本源意义上的理解就是对函数进行分解，分解成需要的
部件。

我们研究了幂级数，就是将函数展开成多项式的形式的函数分量（或部件）的和。
比如泰勒级数，从中值定理就很自然得出。这在计算数学上也是有意义的。因为
幂级数大多收敛很快，而且易于用算法描述。

研究了幂级数后，又研究了三角级数展开，这次也是没头没脑，为什么要展开呢。
傅立叶的热学分析表明这样展开是有益的。我们可以看到三角级数的展开出奇的
简洁，就像神话一样！！！难道这些家伙就这么聪明？他们怎么晓得这么搞？
（同样是历史的歪曲令人费解，傅立叶之制造三角级数是从研究偏微分方程起步
的，在那种特殊的背景下，相对还是比较自然的）。

其实数学分析的主要内容就是这些（微分方程是另外一门单独学问），多重积分
实际上只是上述基本想法的自然衍生而已，大多数问题二流数学家足以完成。

我们现在知道数学分析是对初等数学的一次抽象，现在要问的就是对数学分析的
再次抽象的结果如何，这就要求我们把数学分析中的对象仍看作特例，去寻求更
一般的规律。


以傅立叶级数为例。如果把三角级数展开看作特例，我们可以抽出三角级数展开
的关键性质－－正交性。在这种宏观视角下，我们可以把函数看成集合或空间中
的点，而把级数的正交标准基函数看作直角坐标。从而把函数的三角展开看成是
对点在正交系中求坐标。（傅立叶系数就是坐标）

这样函数本身就成为了一个点，可以与复平面的向量类比（我们在这里又要感谢
法国的天才笛卡儿）他天才的将坐标系设计成正交的。为什么呢？）我们现在可

在内积空间中可以很容易的看出这个问题。正交系相对于一般的基而言使用起来
是无比的方便。

我们看出正是从数学分析中的特殊概念进行进一步抽象，我们得到了更好的理解，
由天才构做的特例中导出一般的概念，是另一类数学家（称之为整理家）的重要
工作。

在20世纪，法国的数学继续称雄全球，其中的布尔坝基学派就是能够从抽象的角
度整体思考数学的一群年轻数学家。我们容易发现，法兰西民族的优秀的抽象能
力和总多的天才人物为数学的发展做出了巨大的贡献。这一贡献，除了德国和欧
陆的其他几个国家能够比拟以外，连英国都不能够比拟。

我们说，第一流的数学家是那些能够提出原始概念，开创新的思路的科学家。
比如欧氏几何之余欧几里的；
微积分之于牛，莱；
解析几何之于笛卡儿；
拓扑学之于庞卡来；
泛函分析之于乐贝格，banach。
cantor之于集合论。
群论之于伽罗华（真正的天才！！！同样是伟大的法兰西人）。
同样那些具有非凡直觉的数学家也是第一流的
比如高斯，黎曼（猜想）等。

很遗憾的，我们中国的本土数学家大概都是在西方人创造的数学空间中去工作。
有些人能解决西方人出的题目，但是很少有人能开创新的局面。
陈省身先生希望21世纪中国能够成为能与西方诸重要国家平等对话的数学大国。
在我们国内的普遍教育模式下，我认为这个希望在本世纪上半叶实现还是有困难。
我们现在的这种教材是培养中才使用的，而对于培养上才则不合理。
不仅内容陈旧（现在在研究生层次开设泛函分析课作为对微积分的延续，但是鲜
有老师能够讲的精彩，学生能够真正领会实质的），而且教育方法严重失败。
教材成了定理的罗列。而对定理的逻辑关系，来龙去脉，根本不提，完全是从应
用的角度去教学，根本没有指望学生能够参与数学发展的进程
（老师就大多是虫一样的混混人物，怎么想得到培养学生成龙？）。

实际上，现在日本的数学比中国要好。日本数学家里面得大奖的很不少。
（不过日本人现在也没有出现能开创新学科的人）

这种局面反映在计算机科学领域也是这样。对操作系统的研发是由西方人作。对
高级语言的定义中国人无缘置喙。中国人忙于学习用别人定义的高级语言和提供
的编译器，开发工具，在别人的操作系统和开发平台上做应用级为主的开发。
（即使现在所谓的龙心，汉芯都出世了，但是我们大家都知道这不过是一些海龟
从他们的国外老师的实验室里面clone过来的，在概念上并无重大突破）。

dragon_kai

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【 原文由 Grothendieck 所发表 】
最近因为工作关系，看了一些数学书。
我以TAMU的两位教授所著的一本小书为例发表一些浅见。
该书名为A First Course in Wavelets with Fourier Analysis.
(国内有电子工业出版社的影印版本）
一 背景
傅立叶分析是所有理工科学生都多少知道一点的，傅立叶分析的主要内容有
傅立叶级数；傅立叶变换等。傅立叶级数是所有学过工科高等数学课程的学生都
知道的。
而作为电子工程系的学生，对傅立叶分析的掌握程度基本决定了他的信号处理的
水平。
傅立叶分析是调和分析的一个总要分支。最早的三角级数展开是由于解偏微分方
程的需要，在18世纪由法国的工程师兼学者Fourier在其名著 热的解析理论 中
予以详细讨论的。实际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现
代数学的发展，都深具影响。
实变函数论的开创者Lebesgue（1875年生）最早就是通过研究三角级数从而提出
明晰的测度概念并将黎曼积分扩充为Lebesgue积分，从而大大扩充可积函数的范
围的。

三角级数还是产生很多病态函数的温床。
比如1872年，魏尔斯特拉斯就利用三角级数构造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（
对


n＝0，1，。。。求和）。
此函数就是一个处处连续但处处不可导的函数。
而正是对病态函数的研究促成了数学分析的革命。

二 对“分析”的分析
目前国内工科学生学习的数学主要有：
高等数学（主要是18世纪前的一些数学分析的内容，包括一些解析几何）
线性代数
概率统计
复变函数
积分变换
后四门课的名字很明确，基本反映了内容。
但是高等数学这个名字就显得非常含混，究竟什么叫高等数学呢？
实际上正如我前面所说，主要包含一些分析的老的内容。
我现在要问的是，为什么数学分析叫做数学分析？这个问题若搞清楚，就可以从
本质上把握数学分析的体系，而不是在那里被动的被胡涂先生带着做模仿动作了
（陈文灯这种人是要害死中国一代青年的！学数学决不是模仿！！而是要有高屋
建瓴的把握）。

我沿着西方的分析思想，对“分析”二字结合数学分析的内容做一个分析。
如果有人复习数学的话，我下面的一段话对他肯定会大有用处，能否消受，要看
自己的造化了。

分析的英文原文是：analysis
MW字典对其原意的解释是，
separation of a whole into its component parts.
汉语的分析，我们要分析成两个字，第一个字是分，第二个字是析。
据金山词霸。
分的本意是：(会意。从八,从刀。“八”就是分;从“刀”,是以刀剖物,使之分开
的意思。
本义:一分为二)
析的本意是：(会意。从木,从斤。用斧子劈开木头。本义:劈,劈木头)
这两个字都是会意字

所以analysis汉语翻译做“分析”是恰当的。
当然分析一词还有引申义， “将事物、现象、概念分门别类,离析出本质及其
内在联系”

有了以上的认识，我们可以来探讨数学分析的主要任务了。（正是这些任务使
得数学分析成为一个整体，而不是分立概念的罗列）
从集合，映射的观点来看（这些都是19世纪，20世纪的一些观念）
数学分析的主要对象是定义域，值域均是实数集合子集的映射(这种映射基本就
是所谓实变函数的范围，实变函数是一种特殊的函数，而函数是数集间的映射），
所以换句话数学分析的对象是函数，数学分析也可以叫做函数分析。

对于函数的分析，可以有引申意义上的分析，也可以有本意上的分析。大家多侧
重于对引申意义的分析，对本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我们所熟知的
引申意义上的分析。

比如研究了四种特殊的函数性质
1 周期性 2 奇偶性 3 有界性 4 单调性。
这四种特性都是几何上非常直观的。（在数学分析发展的早期，直观是指引人前
进的很好工具）
注意到，在中学利用初等的工具研究了六种初等函数（常数，幂，指，对，三角，
反三角）的某些简单性质（注意简单二字，初等函数的许多性质用初等方法研究
需要相当的技巧，或者说没有一般的规律可循，据说阿基米德在求球体的体积的
时候，就求过几个特殊的简单积分，但是他当时当然没有微积分的明确概念，可
见利用初等数学的工具解决复杂的难题需要专家的技巧，而数学家的任务是寻求
一类问题的规律，或者说是寻求求解过程的公式化和机械化）。

实际上，对大多数函数，用初等数学的方法分析，都很难得出深刻的结论。大家
可能记得在高中为了求出一个函数的极值需要多大的技巧。

人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了大约2000年的时间，到了牛顿和莱布尼
茨的时代，才有了比较明确（但是离严密还差的很远）的极限概念。正是极限的
概念刷新了分析数学的历史，自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比
较合理的基础，这为函数的分析（数学分析的内容）提供了有力的工具。

有了极限的工具，就可以研究函数在局部和无穷远处的发展趋势，这就是从动态
的角度研究函数了。我们知道求极值是对函数分析的重要内容。显然，了解函数
值的变化趋势，对求函数的极值肯定是有好处的。有了极限的概念，就可以刻划
函数的发展趋势。实际上刻划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特
殊的极限－－导数。有了导数，当然可以继续研究高阶导数。

在有了导数以后，为了沟通函数与其各阶导数的性质，就有了中值定理。（我现
在还有疑问，中值定理的出现是否是一种必要性的推动，还是纯理性思考的产物），这
些

中值定理主要是由法，德两国人创立。
我们可以看看中值定理提出者德生卒年，这样可以给我们重要的启示。（依照逻
辑顺序排列）
1 费马定理 Fermat 1601-1665
2 罗尔定理 Rolle 1652-1719（标准教科书证明利用了费马定理）
3 拉各朗日 1736-1813（证明利用了罗尔定理）
4 柯西 1789－1857（证明利用了拉各朗日 定理）
5 落笔大 1661－1704（证明利用了柯西定理）
6 泰勒 1685－1731（证明利用了柯西定理）

现在我们能够看到明确的问题了!
1 从罗尔定理到拉各朗日几乎用了50年以上的时间（由于缺乏详细的史料，我们
自能根据生卒年大致分析），从拉各朗日到柯西也大概用了50年时间。
启发：我们往往惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是事实证明，就是这几个
中值定理，就花了人类100年的时间（请考虑世界上研究数学的人的数目），我们
所看到的逻辑严谨，周密都不过是对历史整理后的假相。当然时代进化到21世纪，
我们不能用18世纪的速度要求人类和自己）。

2 落笔大，泰勒出生都比柯西早100年，何以他们提出的中值定理的证明却利用了
未出生的人的定理呢？
对这个问题，我们可以肯定的是：泰勒的原始证明，落笔大的原始论证都没有用
到柯西定理！！而现在我们所看到的证明是数学史家在对历史进行梳理后的产物！
泰勒，落笔大所用的概念肯定比柯西原始，可能还非常不严密。

这两点对我们的总的启示是，
即使是世界上第一流的头脑，也难以在短时间内创造非常严密的系统的理论。我
们中国的教材在物理，化学上提及了历史但是在数学上却忽略了。
当年我在学习数学分析的时候就非常自卑，为什么别人能够创造这样美妙的体系，
而我们就不行。现在终于明白了。

第二点，数学的发展史使我倾向于直觉主义的数学哲学，也就是原始的数学思想，
来源于人的直觉，尽管这些直觉在天才的脑子里面往往是粗糙的，正如钻石不经
打磨不能耀眼一样。我们应该知道（却没有被老师告知和教材教知）牛顿的原始
的微积分概念是非常含混的和没有稳固基础的。牛顿对无穷小和无限本身就不够
清晰（考虑到他是几百年前的大哥，饶了他），贝克莱大主教攻击牛顿的无穷小
概念在哲学上站不住脚，马克思也抱怨牛顿对高阶无穷小的无端忽略是“暴力镇压”。
我

们所熟知的yipusilon－delta法则是柯西在
牛顿身后几百年才提出的，而对实数集合连续性的讨论是由魏而斯特拉是，
cantor等人完善的，没有上述理论，牛顿的理论是非常不严密的。我们看到的数
学大厦曾经经历了多少次的危机。甚至到今日，数学的基础仍存在严重的危机！！

三 在数学教材中，除了摆事实（用公里化的方法把文章做得花团锦簇一般）自能
使学生成为可怜虫，在事后诸葛亮们得整理下，本来令人佩服得天才成了高不可
攀的神袛。严重打击学生的兴趣和自信。而对历史发展进程的整理也歪曲了数学
发展的真相，使得历史发展的进程被抹煞，本来自然的，可以理解的idea的发展
成为高不可攀的绝妙证明。学生成为一个袖手旁观者，而不是一个数学发展的见
证人和参与者。而我们中国需要的更多的就是这种开拓性人才！！

有了微分，按照惯例，就应该考虑其逆运算。这就是所谓不定积分。这是容易理
解的。对初等函数的研究也是顺理成章的。

许多学生不都把定积分和不定积分混为一谈，认为定积分不过是对不定积分的求
值。但是如果概念清晰的话。

不定积分应该是微分的逆算子。这是逻辑上的必然延续。
但是定积分（严格说是黎曼积分）可以认为是部分和的极限，这种积分可以认为
是从几何直观上求解实际问题时得出的。这样看来，利用部分和极限求级数的和
就本来不是一种技巧，而是当然了）。

我们知道，黎曼积分对可积函数的要求是比较苛刻的，由于在历史上，先研究的
函数都是一些比较漂亮的函数，所以在当时，并没有问题。但是乐贝格出世后，
却在逆反心理的引导下，研究那些性质不那样漂亮的函数（比如狄里赫莱函数，
还有上面提到的维尔斯特拉斯提出的病态函数。）这样就使得测度的概念进一步
明晰。对区间长度的衡量由一个原始的概念过渡到（进化到）集合测度的概念。（canto
r

的集合论研究大概和乐贝格相距不远）

这就是积分的概念。

在积分概念后，数学分析研究了级数。（实际上由于数列是一种特殊形式的函数，
定义域为散点，级数可以认为是积分概念的离散形式）。

对级数的研究分为常项级数和函数级数。其中非常总要的就是三角级数。

实际上在这里，我们可以在分析的本源意义上了解为什么分析叫分析。
回到MW字典的定义：
separation of a whole into its component parts.
我们可以在原意上理解这句话。
数学分析的对象是函数。我们把上述定义中的a whole换做函数function看看。
separation of a function into its component parts.
事情清楚了，数学分析在本源意义上的理解就是对函数进行分解，分解成需要的
部件。

我们研究了幂级数，就是将函数展开成多项式的形式的函数分量（或部件）的和。
比如泰勒级数，从中值定理就很自然得出。这在计算数学上也是有意义的。因为
幂级数大多收敛很快，而且易于用算法描述。

研究了幂级数后，又研究了三角级数展开，这次也是没头没脑，为什么要展开呢。
傅立叶的热学分析表明这样展开是有益的。我们可以看到三角级数的展开出奇的
简洁，就像神话一样！！！难道这些家伙就这么聪明？他们怎么晓得这么搞？
（同样是历史的歪曲令人费解，傅立叶之制造三角级数是从研究偏微分方程起步
的，在那种特殊的背景下，相对还是比较自然的）。

其实数学分析的主要内容就是这些（微分方程是另外一门单独学问），多重积分
实际上只是上述基本想法的自然衍生而已，大多数问题二流数学家足以完成。

我们现在知道数学分析是对初等数学的一次抽象，现在要问的就是对数学分析的
再次抽象的结果如何，这就要求我们把数学分析中的对象仍看作特例，去寻求更
一般的规律。


以傅立叶级数为例。如果把三角级数展开看作特例，我们可以抽出三角级数展开
的关键性质－－正交性。在这种宏观视角下，我们可以把函数看成集合或空间中
的点，而把级数的正交标准基函数看作直角坐标。从而把函数的三角展开看成是
对点在正交系中求坐标。（傅立叶系数就是坐标）

这样函数本身就成为了一个点，可以与复平面的向量类比（我们在这里又要感谢
法国的天才笛卡儿）他天才的将坐标系设计成正交的。为什么呢？）我们现在可

在内积空间中可以很容易的看出这个问题。正交系相对于一般的基而言使用起来
是无比的方便。

我们看出正是从数学分析中的特殊概念进行进一步抽象，我们得到了更好的理解，
由天才构做的特例中导出一般的概念，是另一类数学家（称之为整理家）的重要
工作。

在20世纪，法国的数学继续称雄全球，其中的布尔坝基学派就是能够从抽象的角
度整体思考数学的一群年轻数学家。我们容易发现，法兰西民族的优秀的抽象能
力和总多的天才人物为数学的发展做出了巨大的贡献。这一贡献，除了德国和欧
陆的其他几个国家能够比拟以外，连英国都不能够比拟。

我们说，第一流的数学家是那些能够提出原始概念，开创新的思路的科学家。
比如欧氏几何之余欧几里的；
微积分之于牛，莱；
解析几何之于笛卡儿；
拓扑学之于庞卡来；
泛函分析之于乐贝格，banach。
cantor之于集合论。
群论之于伽罗华（真正的天才！！！同样是伟大的法兰西人）。
同样那些具有非凡直觉的数学家也是第一流的
比如高斯，黎曼（猜想）等。

很遗憾的，我们中国的本土数学家大概都是在西方人创造的数学空间中去工作。
有些人能解决西方人出的题目，但是很少有人能开创新的局面。
陈省身先生希望21世纪中国能够成为能与西方诸重要国家平等对话的数学大国。
在我们国内的普遍教育模式下，我认为这个希望在本世纪上半叶实现还是有困难。
我们现在的这种教材是培养中才使用的，而对于培养上才则不合理。
不仅内容陈旧（现在在研究生层次开设泛函分析课作为对微积分的延续，但是鲜
有老师能够讲的精彩，学生能够真正领会实质的），而且教育方法严重失败。
教材成了定理的罗列。而对定理的逻辑关系，来龙去脉，根本不提，完全是从应
用的角度去教学，根本没有指望学生能够参与数学发展的进程
（老师就大多是虫一样的混混人物，怎么想得到培养学生成龙？）。

实际上，现在日本的数学比中国要好。日本数学家里面得大奖的很不少。
（不过日本人现在也没有出现能开创新学科的人）

这种局面反映在计算机科学领域也是这样。对操作系统的研发是由西方人作。对
高级语言的定义中国人无缘置喙。中国人忙于学习用别人定义的高级语言和提供
的编译器，开发工具，在别人的操作系统和开发平台上做应用级为主的开发。
（即使现在所谓的龙心，汉芯都出世了，但是我们大家都知道这不过是一些海龟
从他们的国外老师的实验室里面clone过来的，在概念上并无重大突破）。

神经兮兮

看完楼主的帖子，我的心情竟是久久不能平复,正如老子所云：大音希声，大象无形。我现在终于明白我缺乏的是什么了，正是楼主那种对真理的执着追求和楼主那种对理想的艰苦实践所产生的厚重感。面对楼主的帖子，我震惊得几乎不能动弹了，楼主那种裂纸欲出的大手笔，竟使我忍不住一次次的翻开楼主的帖子，每看一次,赞赏之情就激长数分，我总在想，是否有神灵活在它灵秀的外表下，以至能使人三月不知肉味，使人有余音穿梁,三日不绝的感受。楼主，你写得实在是太好了。我唯一能做的，就只有把这个帖子顶上去这件事了。


　

gungun2001

顶一楼的！！

dragon_kai

这两天一直忙于算法测试，没有时间上站。一个人灌水太寂寞，终于能够引起同学的共鸣太高兴了，但是却有种失落，因为我们的共鸣是感觉自己与牛人的差距，感叹国内与国外的差距，……
我们有一种观点，我们现在落后这么多，别人不比我们笨，
如果大家都一样一周五天，一天8小时上班，恐怕很难赶上人家，
惟有像当年搞“两弹一星”一样拼命，
至少得累死一批人，
中华民族才可能不受压制，才有可能实现民族的伟大复兴。

foo_bar

惟有像当年搞“两弹一星”一样拼命，
至少得累死一批人，
中华民族才可能不受压制，才有可能实现民族的伟大复兴.

严重赞成！
可是我们现在这个浮躁的社会，
又有几人能静下心来做学问呢？

gungun2001

至少偶就不行…………

opaque

觉得国人的思维方式就与他们不同
直觉大于清晰的结构化
整体大于细致的逻辑化

融融感的历史沉淀太大太厚重了
不习惯拆开来分析一种东西
但在接受西方冷冷的规则训练后
相信这种天赋也会成为一种优势吧

另 分形说也算是近年新的数学空间吗
是否是集合论和微积分的交叉

dragon_kai

我们在学微积分时，老师常会提到Weierstrass的处处连续而处处不可导的例子以及Peano曲线，Koch曲线等在经典数学范畴让数学家们无从下手，因而把它们作为“怪物”“反例”的事情，其实，这些图形正是分形！所以，分形图形很早就有描述，只是数学家们还没有认识到其巨大的应用背景而加以注意和研究。Mandelbrot在他的文章“Fractals and the rebirth of iteration theory”中特别评论到早年数学家们的这些工作：“值得赞扬的是由于他们发明了如此的结构，使我能最后把它们串连在一起，从而找到其宝贵的价值。应该受到指责的是由于他们没能在这些结构之间看到并开发出一种密切的内在联系。他们对待每一个结构，就象是对待一个畸形怪胎或不受欢迎的反例，这就从根本上忽视和疏漏了它们真实和深刻的内涵。”

在近代科学中，分形常和分歧（Bifurcation）、孤粒子(Soliton)、混沌（Chaos）相提并论，因为物理学家特别关注这些现象常常交织在一起。分形混沌现象常常产生一幅幅变化莫测奇境般的图象，令理论科学家叹为观止。可以说，计算机对图形的作用，绝不亚于显微镜对生物和医学的作用。就连科学家一般不轻易涉足的艺术领域，分形也大有用武之地，因为在计算机上产生的山脉，彩云，花草，树木等画面，已达到了以假乱真的地步。近年来，计算机动画等在电影特技上的表现常常让人们拍案叫绝，计算机动画中就常有分形的应用。

称之为分形的结构一般都有内在的几何规律性，即比例自相似性，并不是杂乱无章的，就象混沌一样，在无序中含有有序的结构。大多数分形在一定的标度范围内是不变的，在这个范围内，不断地显现放大任何部分，其不规则程度都是一样的，这个性质称为比例性。按照统计的观点，几乎所有的分形又是置换不变的，即它的每一部分移位、旋转、缩放等在统计的意义下与其它任意部分相似。这两个性质表明分形决不是完全的混乱，在它的不规则性中存在着一定的规则性。它同时暗示着自然界中一切形状及现象都能以较小或部分的细节反映出整体的不规则性。

hbqaz

看了作者的文章，只有一句话形容我此时的心情，“听君一席话，胜读十年书”。

我学了数学分析，但一直都是糊里糊涂的。不知它为什么叫分析，我在网上查了很久，才找到了你这篇文章。

我是电气学子

大一的新生都来看看啦，高数很重要的。

windtoheart

楼主不知是否数学院的，读了你的文章，我亦颇有感慨……只可惜啊，于现状我辈除了哀其不幸，怒其不争，又能有何作为呢！
   间或有闻，中国教育比较外国，本科差距尚小，研究生教育则落后许多。承蒙有幸，我也过了几天在湖大读研的日子，身体力行，多少还是能感觉到一点问题，感觉到差距吧。现在研究生培养都是讲究“项目带动”，说实在的，我对这个一点都不看好。唉，大家基础没打扎实，研究生阶段又不上什么课，拼命做着什么项目，你说这样能培养出高质量的研究生么！我是深深地忧虑啊。
   从前我学微机原理，单片机，怎么也搞不懂，后来把计算机组成原理看一下，好多东西豁然开朗。我敢在这里瞎掰，电气院的学生读完四年本科，起码有（或者大于）90％的人弄不清什么是二进制补码，中断怎么判优怎么嵌套乃至硬件构成和软件处理估计也有百分之八十的人不懂（因为我们采用的教材根本没说清楚）。现在的研究生都忙着搞DSP,搞FPGA，以这样的基础怎么可能搞懂，搞精！在这样的环境下，谈芯片设计，谈IP，谈内核，谈什么都浮躁。中国之内怎么会诞生精英呢！不是我说，湖大电气远比较牛的老师真的比较少！我们的周围鲜有大师（或者我没有有幸遇到）！真正有思想，有见地的人太少了。我们的课堂上，有几个老师教过我们要以大师的眼光去看问题，思考问题呢？！我现在上课的老师都把我们当成弱智儿童在教……
   没出路啊，没出路，这样的教育没救了……