第二次数学危机

无影人

　　伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，这次危机的发生带有必然性。

　　这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，埃利亚数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。

　　芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却激起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是：希腊证明几何中从此就排除了无穷小。

　　经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤。微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。

　求速度为例，瞬时速度是ds/dt，当dt趋近于零时的值。dt是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次动摇数学理论基础的危机。

　　无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年又说它是“两个正在消逝的量的最终比”。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量。但是，他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

　　英国大主教贝克莱于1734年发表文章攻击说，流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学，但却是正确的结果。”贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚、不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

　　当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造的时代的初期，科学中，逻辑中存在这样那样的问题，并不是个别现象。莱布尼兹在研究级教时，也认为格拉弟的结论：

1 – 1 + 1 –1 …… = 1/2

是正确的，并解释说，这就象一件东西，今天放在这个人处，明天放在那个人处，于是相当一人一半。现在稍有些数学知识的人都知道，上述级数是不存在和值的。对于无穷级数来说，有些运算律并非都可以用，而要看条件。例如，对上面的级数，如果利用结合律，则有：

1 – 1 + 1 – 1 + …… =（1 – 1） + （1 – 1）+ ……

= 0 + 0 + 0 + …… = 0

利用交换律和结合律，就有：

1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 + 1 + 1 + （1 – 1） + （1 – 1）+ ……

= 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + …… = 3

利用结合律和分配律，就有：

1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 - （1 – 1） - （1 – 1）- ……

= 1 - 0 - 0 - …… = 1

　　由此可见，如果不顾条件的话，尽管是正确的定律也会导出荒谬的结果。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的。它强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性，如上述级数可等于1/2、0、3、1，等等；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

　　直到19世纪20年代，一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义。阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分。狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的ε-δ定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

　　19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上.

无影人

　　伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，这次危机的发生带有必然性。

　　这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，埃利亚数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。

　　芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却激起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是：希腊证明几何中从此就排除了无穷小。

　　经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算──微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤。微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。

　求速度为例，瞬时速度是ds/dt，当dt趋近于零时的值。dt是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次动摇数学理论基础的危机。

　　无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年又说它是“两个正在消逝的量的最终比”。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量。但是，他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

　　英国大主教贝克莱于1734年发表文章攻击说，流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学，但却是正确的结果。”贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚、不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

　　当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造的时代的初期，科学中，逻辑中存在这样那样的问题，并不是个别现象。莱布尼兹在研究级教时，也认为格拉弟的结论：

1 – 1 + 1 –1 …… = 1/2

是正确的，并解释说，这就象一件东西，今天放在这个人处，明天放在那个人处，于是相当一人一半。现在稍有些数学知识的人都知道，上述级数是不存在和值的。对于无穷级数来说，有些运算律并非都可以用，而要看条件。例如，对上面的级数，如果利用结合律，则有：

1 – 1 + 1 – 1 + …… =（1 – 1） + （1 – 1）+ ……

= 0 + 0 + 0 + …… = 0

利用交换律和结合律，就有：

1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 + 1 + 1 + （1 – 1） + （1 – 1）+ ……

= 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + …… = 3

利用结合律和分配律，就有：

1 – 1 + 1 – 1 + …… = 1 - （1 – 1） - （1 – 1）- ……

= 1 - 0 - 0 - …… = 1

　　由此可见，如果不顾条件的话，尽管是正确的定律也会导出荒谬的结果。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的。它强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性，如上述级数可等于1/2、0、3、1，等等；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

　　直到19世纪20年代，一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义。阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分。狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的ε-δ定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

　　19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上.