易拉罐问题

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相关数据测量

我们取一个饮料量为355毫升的可口可乐易拉罐，测量它的部分数据如下：

（单位：cm）

圆柱的半径
圆台上表面半径
罐的总高度
圆柱的高度
顶盖的厚度
侧壁的厚度
下底的厚度

3.305
2.885
12.310
10.210
0.028
0.011
0.021





根据上表数据，我们可以得到：


所以可以求得：   



§3 问题的分析与假设

（一）、问题2中，假设易拉罐是一个正圆柱体，我们首先假设罐体各部分厚度相同，则欲使材料最省，只需在容积固定时使柱体表面积最小即可；进一步考虑到为了加强罐体的抗压力和稳定性，顶盖的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。

（二）、问题3中，假设易拉罐由圆台与圆柱组成，其中心纵断面如图一所示。我们首先假设罐体各部分厚度相同，则欲使材料最省，只需在容积固定时使罐体表面积最小即可；进一步考虑到为了加强罐体的抗压力和稳定性，顶盖与底部的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。

（三）、问题4中，假设易拉罐由上部的圆台、中部的圆柱和底部上凹球冠构成。其中心纵断面如图五所示。欲使材料最省，需使所用材料最少。



§4  符号的说明

R………………圆柱形部分的内部半径　

r………………圆台的上表面的内部半径

…………… 易拉罐底部球冠所在球的半径

h………………圆台的高度

…………… 易拉罐底部球冠的高度

H………………易拉罐上表面到下表面总的内部高度

a……………… 顶盖的厚度

b………………侧壁的厚度

c………………下底的厚度

S……………… 易拉罐的总的表面积

………………易拉罐的内部容积

V………………材料的体积



§5 模型的建立与求解

5.1关于问题2的模型建立与求解

在问题2中,我们把易拉罐近似看作一个正圆柱体，此易拉罐的中心纵断面如图二所示.

5.1.1 不考虑材料的厚度的情况

欲使材料最省只需使表面积S最小，建立如下数学模型：

min …………………①

………… ②

求表面积S在条件②下的最小值,我们把②变形后代入①,消去H，设R为自变量,

S为因变量。求 的最小值即可。根据参考文献[4]，由公式得       ……………③            

可以求得极值点：

代入①得



所以，高与半径之比 .这个值与我们实际测量的值 比较接近，所以这种模型的建立有一定的合理性.实事上,为了加强罐体的抗挤压能力和稳定性，顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度,那么考虑材料的厚度时，高与半径之比又是多少呢？





5.1.2顶盖与底的厚度大于侧壁厚度的情况

在考虑材料的厚度的情况下，易拉罐的中心纵断面如图三所示。我们可以

取顶盖的厚度 ，

下底的厚度 ,

则顶盖材料体积为

下底的材料体积为

侧面的材料体积为

所用材料体积总体V ：



并且满足  

因为 , 所以带 的项可以忽略(极其重要的合理假设和简化). 因此,我们建立求材料体积最小值的数学模型：

  

从 解得 代入V,是原问题化为求H：R的值以使V最小，即求R，使 最小。

求极值点：

解得极值点：

把上述R的值代入 可得　 　

所以　　

根据实际测量的厚度值， ， ，可以得到 ，此比值与实际测的数值的比值更加接近，说明该模型更接近于最优设计。

5.2关于问题3的模型建立与求解

在实际生活中，易拉罐并不是一个正圆柱体，我们可以把它的上顶近似看作一个圆台，下部近似看作一个圆柱体，则我们得到易拉罐的中心纵断面如图一所示：

5.2.1：在不考虑材料的厚度的情况下

欲使材料最省，只需在容积固定时使罐体表面积最小即可,则我们可以建立关于表面积的数学模型为：　



该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件根据参考文献[2],[3]进行计算，具体步骤：


syms R r h H l;

S=3.1416*r^2+3.1416*(R+r)*(h^2+(R-r)^2)^(1/2)+2*3.1416*R*(H-h)+

3.1416*R^2+l*(3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)-355);

eq1=diff(S,R);

eq2=diff(S,r);

eq3=diff(S,h);

eq4=diff(S,H);

eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)-355;

Sov=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l');

disp(Sov);

R=Sov.R,r=Sov.r,h=Sov.h,H=Sov.H            

得，R=4.034321

r=1.878264

h=2.563183

H=8.068642

经验证,只有上述解符合条件，是该情况下的最优解。所以，当易拉罐由圆台与圆柱组成且不考虑材料厚度时，易拉罐的底面半径为R=4.034321，顶盖半径为r=1.878264，上部圆台高为h=2.563183，整个罐体高为H=8.068642，此时，易拉罐用材料最省。从所得数据上来看，该模型与实际测量值还有较大差距，还需改进，为此我们考虑材料厚度，实事上,为了加强罐体的抗挤压能力和稳定性，顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度,那么考虑材料的厚度时，罐体的尺寸又是多少呢？

  5.2.2：在考虑材料的厚度的情况下

通常顶盖和底部的厚度要大于侧壁的厚度，则欲使材料最省，需在容积固定不变时，使所用材料的体积最小。

圆台侧壁的体积:

  

     



圆柱侧壁部分的体积：



顶盖和底面的体积为：

   

所以易拉罐材料的总体积为：


  



  我们可以建立关于材料体积的数学模型：



该模型的求解,取 ，我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：

syms R r h H l;

V=4*3.1416*R^2+3*3.1416*r^2+3.1416*(h*r+H*R-h*R)

+l*(3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)-355);

eq1=diff(V,R);

eq2=diff(v,r);

eq3=diff(V,h);

eq4=diff(V,H);

eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)-355;

Sov=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l');

disp(Sov);

R=Sov.R

r=Sov.r

h=Sov.h

H=Sov.H

得, H=12.284,

   h=1.2701

   R=3.2765

   r=2.9285

只有上述解符合条件，是该情况下的最优解。所以，当易拉罐由圆台与圆柱组成且考虑材料厚度时，易拉罐的底面半径为R=3.2765，顶盖半径为r=2.9285，上部圆台高为h=1.270，整个罐体高为H=12.284，此时，易拉罐用材料最省。从所得数据上来看，该模型与实际测量值还有较小的差别,所以此模型比较符合实际,我们可以把易拉罐的实体抽象为此模型.

5.3 关于问题4的模型建立与求解

实际上，饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。

（程序与图形出自参考文献[9]）

my = {AbsoluteThickness[2],Line[{{2.3,0.4},{2.3,0},{2.7,0},

{2.7,0.8},{3.3,0.8},{3.3,11},{3,12},{3,12.4},{2.7,0},{-3,12},

{-3,12.4},{-3,12},{-3.3,11},{-3.3,0.8},{-2.7,0.8},{-2.7,0},

{-2.3,0},{-2.3,0.4}}]}

mygrapg = Show[Graphic[my],AxesLabel->{x,y},

AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,12.4}]


图四

  

考虑到实际情况,为了使易拉罐更牢固、更美观、更稳定，同时为了易于易拉罐的码放。我们可以把易拉罐看成三部分，第一部分是一个圆台,第二部分是一个圆柱,第三部分是一个球面. 则我们得到易拉罐的中心纵断面如图五所示：







5.3.1在不考虑材料厚度的情况下

不考虑材料厚度时，只需让罐体表面积最小即可，我们可以建立以下的数学模型，




该模型的求解,我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：

syms R r h H l;

V=2*3.1416*R*（H-h）+2*3.1416*R* +3.1416*(r+R)*[(R-r)^2+h^2]^(1/2)

+3.1416*r^2+l*(3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)

-(3* - )/(3*3.1416)-355);

eq1=diff(V,R);

eq2=diff(v,r);

eq3=diff(V,h);

eq4=diff(V,H);

eq5=diff(V, )

eq6=diff(V, )

eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)

-(3* - )/(3*3.1416)-355);

Sov=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l');

disp(Sov);

R=Sov.R    r=Sov.r

h=Sov.h    H=Sov.H

=Sov.

=Sov.

我们可以得到，H=12.2915  h=1.1925  R=3.3045 r=2.9918 = 0.9790

= 5.7551 为可行解 。这组解所得到的数据与实际测量值的存在一定差别，但此模型已进一步符合了实际。

5.3.2考虑材料的厚度的情况

   考虑到顶盖和底部厚度达于侧面厚度，要是材料最省，需得使得材料体积最小。

顶盖材料体积为

圆柱侧面的材料体积为

圆台侧面的材料体积:  





   



球缺的体积:



材料的总体积

+ + -

因此我们可以建立关于材料体积的数学模型：



该模型的求解, 我们使用拉格朗日乘数法，并借助于matlab软件进行计算，具体步骤：

syms R r h H l;

V=3.1416*R*（H-h）+2*3.1416*R* +3.1416*(r+R)*[(R-r)^2+h^2]^(1/2)

+3.1416*r^2+l*(3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)

-(3* - )/(3*3.1416)-355);

eq1=diff(V,R);

eq2=diff(v,r);

eq3=diff(V,h);

eq4=diff(V,H);

eq5=diff(V, )

eq6=diff(V, )

eq5=3.1416*[r^2+R^2+r*R]*h/3+3.1416*R^2*(H-h)

-(3* - )/(3*3.1416)-355);

Sov=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,'R','r','h','H','l');

disp(Sov);

R=Sov.R

r=Sov.r

h=Sov.h

H=Sov.H

=Sov.

=Sov.

求解得，H=12.3140,   =5.3470   =1.1422   h=1.1718

    R=3.3052   r=3.0011

该组解与实际测量值非常接近，说明该设计是最优的。



§6 模型的评价与改进

  上述模型的建立从考虑材料厚度和不考虑厚度两方面着手，不考虑材料厚度的模型显然不够好，与实际相差较大，考虑厚度的模型更接近于实际。

本文的优点： 1、 本文根据问题要求，利用优化的思想，一步一步地讨论了模型的建立情况，使所建立的模型极大地趋近于实体。

2、 本文综合考虑了影响易拉罐用料量的各种因素。

本文的缺点： 1、 对于模型中出现的实际的复杂问题作了很多简化，最终得到的数值与所测数值有偏差。

2、 测量易拉罐的数据有误差

易拉罐的设计主要考虑的方面有；1、尺寸比例的经济性及科学性；2、人体工学；3、力学性质；4、易拉罐内部留有的空余部分；５、放置时运输时的稳定性。我们的模型中第1、3、5、方面已考虑到，与改进模型需进一步考虑2、4、方面。第三方面也可进一步考虑。根据参考文献[8]，罐底球面的强度取决于以下几个因素：材料的弹性模量、底部直径、材料的强度、球面半径。材料愈薄，强度愈低，因此轻量化技术要求减少罐底直径及设计特殊的罐底形状。工艺试验表明，罐底沟外壁夹角若 大于40°，将大大减小罐底耐压。凸模圆弧R不能小于3倍的料厚。但R太大，将会减小强度。球面和罐底沟内壁圆弧R1，至少为3倍料厚，减小罐底沟内壁夹角 ，将增加强度，生产中大多数采用10°以下。





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