猜想

opaque

黎曼猜想

这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。这个猜想是指黎曼函数：
的非平凡零点都在的直线上。

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程=0的根。
根据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它们可以是实根也可以是复根。
因此，多项式函数有两种表示方法，即
当s为大于1的实数时，为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，
这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：
但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息
。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，
因此，的零点就成为大家关心的头等大事。有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，
称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在
这条直线（后称为临界线）上。

这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都
不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。
10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外至今也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。

这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破
，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。
当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。

更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种函数和它们的推广L函数，
它们各有相应的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。
可以设想，黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。

庞加莱猜想

100年前，庞加莱为组合拓扑学奠定基础，他引进一系列同调不变量以及基本群，它们都是拓扑不变量。
他研究的对象是流形，流形可以看成曲线（一维流形）、曲面（二维流形）的推广。用解析几何可以把它们表示出来。
例如一维的圆的方程是：
二维球面的方程为：

我们不难推广到高维，例如三维“球面”的方程为：

当然我们可以进而推广到维。通常球面有一个基本的性质，就是它上面的圆可以连续变形为一点用拓扑学的话讲就是基本群。
宠加莱猜想就是：如果一个3维闭流形的，那么它是否和3维球面同胚。所谓同胚也就是从拓扑学上看来一个样。
这个问题曾许多次被宣布证明，但结果都不对。

1960年美国数学家斯梅尔（S.Smale）跨过这个极难的维数，进而把庞加莱猜想推广到n>3维。
他一举对n>5证明了这个所谓的广义庞加莱猜想，并因此荣获1966年菲尔兹奖。但是他的方法以对n=3,4维不行。
一般认为4维流形更难，没有想到，1982年，美国数学家弗里德曼（M.Freedman）一举证明了4维庞加莱猜想，为此他荣获了1986年菲尔兹将。
由此，他开辟了4维流形研究的新领域，而原先的宠加莱猜想成为仅有的尚未解决的难题了。

伽罗华理论逆问题

在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。很早就会解1次和2次方程，16世纪也会解3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根
的四则运算，我们称它们有根式解。5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式
。经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。
而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。

关于代数方程理论，许多人对于伽罗华的结果往往有误解。第一个误解是以为5次和5次以上方程就没有根了，这是大错特错了。
因为根据代数基本定理，次方程总有个根（实根、复根以及重根统统计算在内），只不过一般这些根不能表示为系数的根式而已。
第二个误解是认为所有5次和5次以上方程都不可能用根式解，实际上并非如此。有相当数量的5次和5次以上代数方程是可以用根式解。
现在的问题是：给定一个方程，如何判定它能否用根式解。伽罗华的贡献在于他给出一个明确的判据，他把每一个方程同一个根的置换群
联系起来，这个群称为该方程的伽罗华群，是一个有限群，可由方程具体地计算出来。如果伽罗华群是可解群，则方程可以用根式解，
如果伽罗华群不是可解群，特别是单群（非交换），则方程不能用根式解。

那么伽罗华理论的逆问题就是，是否任何有限君都是某一个有理系数代数方程的伽罗华群？这个问题在100多年前首先由大数学家]
希尔伯特取得突破。他证明如果群是对称群Sn和交错群An,则答案是肯定的,也就是有这样的有理系数代数方程,以Sn或An为其伽罗华群。
到本世纪10年代，有史以来最伟大的女数学家爱米·诺特建立了一般的理论。1954年苏联数学家沙法列维奇对可解群肯定解决伽罗华逆问题
（证明中的一些错误后来补正），现在问题更集中于单群了。1980年随着声称有限单群分类完成，对单群的伽罗华理论逆问题开始热起来
，有不少单群已得到肯定的结果。但是，整个问题还没有解决，特别是还没有统一的证明方法。

拉姆塞（Ramsay）理论

拉姆塞是位天才的英国科学家，只活了26岁。在他去世的1930年，他发表了一篇学术论文，其副产物就是所谓拉姆塞理论。

拉姆塞理论可以用通常的语言来表述。在一个集会上，两个人或者彼此认识，或者彼此不认识，拉姆塞得出结果是说，
当集会人数大于或等于6时，则必定有3个人，他们或者彼此者认识或者彼此都不认识。6称为拉姆塞数，记r(3,3)。
进一步当集会人数大于或等于18时，则必定有4个人，他们或者彼此都认识或者彼此都不认识，用记号表示就是r(4,4)=18
。可是集会有多少人，才能有5个人都彼此认识或都不认识呢？至今为此，r(5,5)的精确数目我们还不知道，至于其他的r(n,n)当然就
更不清楚了。不过，我们的确证明r(n,n)是一个有限数，的确存在，甚至有精确的上界和下界。只是其中究竟哪一个是拉姆塞数，
就不得而知了。因此，求r(n,n)的精确值是我们的头一个难题。

拉姆塞理论还有进一步的推广，一个最简单的推广是r(s,t)，也就是集会至少有多少人，才能有s个人互相都认识或者t个人互相都不认识。
可以证明r(s,t)=r(t,s)，因此，我们不妨假定s≤t。现在知道的精确的r(s,t)的值极少，只有如下的9种情形:r(3,3)=6 r(3,4)=9 r(3,5)=14
r(3,6)=18 r(3,7)=23 r(3,8)=28 r(3,9)=36 r(4,4)=18 r(4,5)=25

而且我们还知道r(3,t)的一个上界：
r(3,t)≤
abc猜想

1995年维尔斯完整证明了费尔马大定理，成为本世纪成就最突出的数学家之一。但是有关的数学问题并没有就此完结
，仍有成千上万的重要猜想有等解决，特别是能推出整个或部分费尔马大定理的一些猜想，它们看起来形式上也非常简单。
abc猜想就是其中最突出的一个。

abc猜想是关于满足方程:a+b=c的任何非零互素整数解a,b,c的性质，它断言，对任何，存在常数满足:其中表示这3个数中最大者。
N（abc）表示abc的不同的素因子的乘积。

由abc猜想可推出大指数的费尔马猜想，它还可以推出一系列重要猜想。

opaque

黎曼猜想

这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。这个猜想是指黎曼函数：
的非平凡零点都在的直线上。

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程=0的根。
根据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它们可以是实根也可以是复根。
因此，多项式函数有两种表示方法，即
当s为大于1的实数时，为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，
这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：
但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息
。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，
因此，的零点就成为大家关心的头等大事。有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，
称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在
这条直线（后称为临界线）上。

这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都
不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。
10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外至今也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。

这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破
，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。
当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。

更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种函数和它们的推广L函数，
它们各有相应的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。
可以设想，黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。

庞加莱猜想

100年前，庞加莱为组合拓扑学奠定基础，他引进一系列同调不变量以及基本群，它们都是拓扑不变量。
他研究的对象是流形，流形可以看成曲线（一维流形）、曲面（二维流形）的推广。用解析几何可以把它们表示出来。
例如一维的圆的方程是：
二维球面的方程为：

我们不难推广到高维，例如三维“球面”的方程为：

当然我们可以进而推广到维。通常球面有一个基本的性质，就是它上面的圆可以连续变形为一点用拓扑学的话讲就是基本群。
宠加莱猜想就是：如果一个3维闭流形的，那么它是否和3维球面同胚。所谓同胚也就是从拓扑学上看来一个样。
这个问题曾许多次被宣布证明，但结果都不对。

1960年美国数学家斯梅尔（S.Smale）跨过这个极难的维数，进而把庞加莱猜想推广到n>3维。
他一举对n>5证明了这个所谓的广义庞加莱猜想，并因此荣获1966年菲尔兹奖。但是他的方法以对n=3,4维不行。
一般认为4维流形更难，没有想到，1982年，美国数学家弗里德曼（M.Freedman）一举证明了4维庞加莱猜想，为此他荣获了1986年菲尔兹将。
由此，他开辟了4维流形研究的新领域，而原先的宠加莱猜想成为仅有的尚未解决的难题了。

伽罗华理论逆问题

在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。很早就会解1次和2次方程，16世纪也会解3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根
的四则运算，我们称它们有根式解。5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式
。经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。
而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。

关于代数方程理论，许多人对于伽罗华的结果往往有误解。第一个误解是以为5次和5次以上方程就没有根了，这是大错特错了。
因为根据代数基本定理，次方程总有个根（实根、复根以及重根统统计算在内），只不过一般这些根不能表示为系数的根式而已。
第二个误解是认为所有5次和5次以上方程都不可能用根式解，实际上并非如此。有相当数量的5次和5次以上代数方程是可以用根式解。
现在的问题是：给定一个方程，如何判定它能否用根式解。伽罗华的贡献在于他给出一个明确的判据，他把每一个方程同一个根的置换群
联系起来，这个群称为该方程的伽罗华群，是一个有限群，可由方程具体地计算出来。如果伽罗华群是可解群，则方程可以用根式解，
如果伽罗华群不是可解群，特别是单群（非交换），则方程不能用根式解。

那么伽罗华理论的逆问题就是，是否任何有限君都是某一个有理系数代数方程的伽罗华群？这个问题在100多年前首先由大数学家]
希尔伯特取得突破。他证明如果群是对称群Sn和交错群An,则答案是肯定的,也就是有这样的有理系数代数方程,以Sn或An为其伽罗华群。
到本世纪10年代，有史以来最伟大的女数学家爱米·诺特建立了一般的理论。1954年苏联数学家沙法列维奇对可解群肯定解决伽罗华逆问题
（证明中的一些错误后来补正），现在问题更集中于单群了。1980年随着声称有限单群分类完成，对单群的伽罗华理论逆问题开始热起来
，有不少单群已得到肯定的结果。但是，整个问题还没有解决，特别是还没有统一的证明方法。

拉姆塞（Ramsay）理论

拉姆塞是位天才的英国科学家，只活了26岁。在他去世的1930年，他发表了一篇学术论文，其副产物就是所谓拉姆塞理论。

拉姆塞理论可以用通常的语言来表述。在一个集会上，两个人或者彼此认识，或者彼此不认识，拉姆塞得出结果是说，
当集会人数大于或等于6时，则必定有3个人，他们或者彼此者认识或者彼此都不认识。6称为拉姆塞数，记r(3,3)。
进一步当集会人数大于或等于18时，则必定有4个人，他们或者彼此都认识或者彼此都不认识，用记号表示就是r(4,4)=18
。可是集会有多少人，才能有5个人都彼此认识或都不认识呢？至今为此，r(5,5)的精确数目我们还不知道，至于其他的r(n,n)当然就
更不清楚了。不过，我们的确证明r(n,n)是一个有限数，的确存在，甚至有精确的上界和下界。只是其中究竟哪一个是拉姆塞数，
就不得而知了。因此，求r(n,n)的精确值是我们的头一个难题。

拉姆塞理论还有进一步的推广，一个最简单的推广是r(s,t)，也就是集会至少有多少人，才能有s个人互相都认识或者t个人互相都不认识。
可以证明r(s,t)=r(t,s)，因此，我们不妨假定s≤t。现在知道的精确的r(s,t)的值极少，只有如下的9种情形:r(3,3)=6 r(3,4)=9 r(3,5)=14
r(3,6)=18 r(3,7)=23 r(3,8)=28 r(3,9)=36 r(4,4)=18 r(4,5)=25

而且我们还知道r(3,t)的一个上界：
r(3,t)≤
abc猜想

1995年维尔斯完整证明了费尔马大定理，成为本世纪成就最突出的数学家之一。但是有关的数学问题并没有就此完结
，仍有成千上万的重要猜想有等解决，特别是能推出整个或部分费尔马大定理的一些猜想，它们看起来形式上也非常简单。
abc猜想就是其中最突出的一个。

abc猜想是关于满足方程:a+b=c的任何非零互素整数解a,b,c的性质，它断言，对任何，存在常数满足:其中表示这3个数中最大者。
N（abc）表示abc的不同的素因子的乘积。

由abc猜想可推出大指数的费尔马猜想，它还可以推出一系列重要猜想。