无题

opaque

1。有限单群

  我们知道，数学的发展中有一个基本观念———群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G
                       g H g -1∈H  
则称H为正规的(normal). 正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(simple group).单群除了它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的正规子群(normal subgroup). 数学上称其为简单群，其实一点也不简单。有限群论的一个
深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An (n>=5), Lie型单群)外，后来发现了26个零零碎碎的有限单群(散在单群，离散单群), 现在知道，最大的散在单群的阶是:
            41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=10  
这是很大的单群，由B.Fisher 和 R.L.Griess两位数学家所发现，数学家称它为魔群(怪物，Monster). 单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数学上一个很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并未将证明定出来。他讲若将证明写出来至少有1000页，而1000页的证明无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说，不要紧，若有错误，这个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀疑这样的证明是否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还需要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无法解决。段学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，当你不能做或不喜欢做一个问题时，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜欢做的问题。

2 。四色问题

把地图着色，使得邻国有不同的颜色，需要几种颜色？经验告诉我们，四色够了。但是严格的证明极难。这就是有各的四色问题。地图不一定在球面上，也可在亏格高的的曲面上(一个亏格高为g的曲面在拓扑上讲是球面加g个把手；亏格为1的曲面可设想为环面)。可惊奇的是，这个着色问题，对于
g>=1的曲面完全解决了。可以证明：有整数χ(g),满足条件：在亏格为g的曲面上任何地图都可用χ(g)种颜色着色，使邻国有不同颜色，且有地图至少需要χ(g) 种颜色。这个数在g>=1时可以完全确定。我们知道 χ(1)=7，即环面上的地图可用七色着色，四色不够。令人费解的是，证明地球上四色定理，困难多了。现有的证明，需要计算机的帮助，与传统的证明不同。而我们觉得最简单的情况，即我们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。把扩充的问题解决了，得到了很有意思的结论。但是回到基本问题，反而更难。这种现象不止这一个，还有很多，一个例子是所谓的低维拓扑，即推广的问题更简单，而本身核心的问题反而不易克服，这确是数学神秘性的一面。

3 。椭圆曲线

最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方程式
                        x n+ yn = zn ,n>2  
没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明，最近由Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段，是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat 定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期“Annals of Mathematics\"(Prinston大学杂志，1996，第一期)整个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理(Wiles 为此同Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National Academy Science Award in Mathematics). 有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一个分支。有以下一则故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如
                        1729 = 13 + 12 3= 93 + 103  
这结果可用椭圆曲线论来证明。我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程P(x,y) = 0(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是数论中的一个主要问题。需要说明的，在Wiles 完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A. Ribet ,他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。所谓椭圆曲线，就是把这个曲线看成复平面内亏格(genus)等于1的复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面的点有一个可交换群的构造。两个点可以加起来，且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所有曲线的亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于—1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科学杂志(Science)，有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性的，题为“代数几何与代数数论”的会议，由冯克勤先生主持。从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙，学问之奥，令人拜赏。我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定要吸取几千年所有的进步。

4 。球装问题(Sphere Packing)  

如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武义教授最近在这方面做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问题：围着一个球，可以放几个同样大小的球？我们不妨假定球的半径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才给了一个证明。这个证明是很复杂的。一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最紧。衡量装得是否紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总的体积和立方体空间的体积的比例。Kepler于1611年提出了一个猜想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2). 项武义说他证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完全，甚至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。
\"Mathematical Intelligencer\"这个杂志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代人搞同一个课题。匈牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我不知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻的Toth在“Mathematics Reviews\"中有篇关于项的文章的评论。他说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事情就是这样。做重要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意思是对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。最近项武义抒他认为没有的证明都有写出来了。最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的部分。即使平面几何也可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一个问题。立体几何是大有前途的。(斑竹评语:这个问题很有意思,有一个网站有更多的球装内容,还有覆盖问题等等,并有大量的图形,非常值得一看:
            http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html)

5 。Finsler几何  

最近经我鼓励，Finsler几何有重大发展，作简要报告如次：在(x,y)平面上设积分
                        s = ∫baF(x,y,dy/dx)dx
其中y是x的未知函数。求这个积分的极小值，就是第一个变分学的问题。称积分s为弧长，把观念几何化，即得Finsler几何。Gauss看出，在特别情形：
                       F =E2(x,y) + 2F(x,y) y&#39; +G2(x,y)y&#39; ,y&#39;=dy/dx  
其中E,F,G为x,y的函数，几何性质特别简单。1854年，Riemann的讲演讨论了整个情形，创立了Riemann-Finsler几何。百余年来，Riemann几何在物理中有重要的应用，而整体Riemann几何的发展更是近代数学的核心部分。Riemann的几何基础包含Finsler几何。我们最近几年的工作，把Riemann几何的发展，局部的和整体的，完全推广到Finsler几何，而且很简单。因此，我觉得以后的微分几何课或Riemann几何课都应该讲一般情形.最近有几个拓扑问题.最主要的一个是Riemann流形的一个重要性质，即英国数学家Hodge的调和积分。现在有2个年轻人，一个是David Bao, 另一个是他的美国学生，抒这个Hodge的调和积分推广到了Finsler情形。这将是微分几何的一块新园地，预料前景无限。1995年夏在美国西雅图有一Finsler几何的国际会议。其论文集已于今年由美国数学会出版.Finsler 几何在1900年有名的Hilbert演讲中是第23个问题。

6 。中国的数学  

数学研究的最高标准是创造性：要达到前人未到的境界，要找着最深刻的关键。从另一点看，数学的范围，是无垠的。我愿借此机会介绍一下科学出版社从俄文翻译的《数学百科全书》，全书5大卷，每卷约千页。中国能出版这样的巨著,即是翻译，也是一项可喜的在就。这是一部十分完备的百科全书，值得赞扬的。对着如此的学问大海，入门必须领导，便需要权威性的学校和研究所。数学是活的，不断有杰出的贡献，令人赞赏佩服。但一个国家，比较可以集中某些方面，不必完全赶时髦。当年芬兰的复变函数论，波兰的纯粹数学，都是专精一门而有成就的例子。中国应该发展实力较强的方面。但由百科全书的例子，可看出中国的数学是全面的。这是一个可喜的现象。中国的财富在“人民”。中国的数学政策，除了鼓励尖端的研究以外，应该用来提高一般的数学水平。我有两个建议：(1)设立数学讲座，待遇从优，其资格可能是对数学发展有重大贡献的人；(2)设立新的数学中心，似乎成都，西安，广州都是可能的地点。中心应有相当的经费，部分可由地方负担，或私人筹措。近年因为国家开放，年轻人都想经商赚钱，当然国家社会需要这样的人。但是做科学的乐趣是一般不能理解的。在科学上做了基本的贡献，有历史的意义。我想对于许多人，这是一项了不得的成就。在岗位上专心学问，提携后进，“得天下之英才而教育之“，应该是十分愉快的事情。一个实际的问题，是个人应否读数学。Hardy 说，一个条件是看你是否比老师强。这也许太强一些。我想学习应不觉困难，读名著能很快与作者联系，都是测验。数学是小科学，可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中，是一项有优点的职业，即使你有若干能力。中国的数学有相当水平。年来政治多变，达此情况，足风中华民族的勤劳本质。从前一个数学家的最高标准，是从国外名大学获得博士学位。我们国家现在所包需做的，是充实各大学的研究院，充实博士学位，人才由自己训练。致谢 本文承葛墨林，陈永川教授帮助整理，特此致谢。

7 。优美的数学定理  

　 数学定理一般都被认为是枯燥无味的，哪里有什么美可言 。但数学家们有他们自己的审美标准，能从大家认为干瘪瘪的定理中发现美。几年前读过一篇数学小品文，文中讨论什么样的数学定理可以称之为美。有些数学家认为简单就是美，有些数学家认为清楚明确就是美，有些数学家认为深刻才是美。文中列出二十四个被当今数学家认为最简明，最优美的数学定理让许多大数学家打分。这些定理的确都很简明，定理叙述最多两行字。得分最高的是众所周知的复数等式：
                   ｅｉπ＋１＝０
称其为美的原因是，小小一个等式，包含了数学（或大自然）中最重要的五个常数：０，１，π，ｅ，ｉ，真是绝了。这个定理我中学就知道了，但却从来没有发现其中之美。一方面大约是因为数学修养还不够，另一方面是因为从来没有从美的方面来看数学定理。那一篇文章中提到的其它二十三个优美的数学定理许多都与数论有关，不太适合放在这里。所以，我们只选两则比较大众化的供大家欣赏。正好上期的题目比较难，这期的题目相对容易一些。

8 。 数学的第三次危机

在科学技术中，当一种反常现象与通常理论发生冲突时，就会出现理论方面的危机。在数学发展史上，已经经历了三次危机: 公元前5世纪，由于古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数而与该学派所信奉的\"一切数皆可用有理数来表示\"相矛盾，从而导致了第一次的危机; 在18世纪，由于牛顿，莱布尼兹等人在早期微积分工作中缺乏坚实的理论基础而出现了第二次危机; 到了19世纪下叶，康托创立了集合论，按理这是数学史上的一大进步。但是在集合论的研究过程中，却出现了数学史上的第三次危机。这次危机是由于集合论的悖论所引起的。所谓悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证十分严格的一个数学分支。1903年，英国逻辑学家，数学家，诺贝尔和平奖获得者罗素却对集合论提出了以他的名字命名的\"罗素悖论\"。后来，他用一个\"理发师悖论\"来形象地说明自己的悖论: 一个乡村理发师宣布一项原则: 他给而且只给本村那些不给自己刮脸的人刮脸。于是就产生了一个问题: 他给自己刮脸吗? 很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则。用集合论的语言可以把这一悖论表述如下: N是一个集合，它是由那些不属于元素x自身的元素组成，即N={x|x不属于x}。那么，N是否属于集合N呢? 显然，无论在什么情况下都是自相矛盾的。由于19世纪末严格的微积分理论的建立，第一，二次的危机已经解决。然而，建立严格的微积分的理论基础是集合论，而集合论的诞生却又偏偏出现了\"罗素悖论\"，因而数学面临着更严重的危机，其理论基础也发生了动摇。20世纪初，罗素悖论构成的危机确实震撼了国际数学界，但是，有危机并非总是坏事，在科学中，理论的突破是通过科学革命实现的，而科学革命则往往是由危机促成的。危机是科学中新理论出现的前奏。后来的事实也证明了这一点。罗素悖论的提出，促使
更多的科学家去研究集合论的无矛盾问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支------ 公理集合论。目前已形成了几个学派，各有各的看法，也各有各的道理(这点小冬就知之不详喽!)。众说纷纭，莫衷一是。正如实现的其它分支一样，还有不少重大课题有待人们去发现和研究。  

9 。 能写出所有素数的公式

在公式A=(n-1)*(||B*B-1|-(B*B-1)|)/2+2, 其中B=m(n+1)-(n!+1)中，m,n以自然数代入，所得的结果一定是素数。 这就是自欧几里德在<<几何原本>>证明了素数是无限多个后，多少世纪以来人们一直所寻找的能写出所有素数的公式! 不难看出，A一定是整数，且有: 若B=0,有A＝n+1; 若B!=0, 有A=2.
B!=0时，A已为素数，当B=0, 即m(n+1)-(n!+1)=0, 即m=(n!+1)/(n+1).在初等数论中有一著名的定理叫做\"威尔逊定理\", 可陈述为(n!+1)/(n+1)为整数的充要条件是n+1是素数。所以B=0时，m=(n!+1)/(n+1)为整数，故A＝n+1必为素数。  (斑竹评语:这种公式有很多,比如威尔逊定理也是一个素数公式,我还有一位朋友包兄也发现了一个这种公式,请去他的网页瞧瞧:http://person.zj.cninfo.net/~bao)

10 。 完全数之迷之最初的4个完全数

正如毕达哥拉斯及其学派所认为的那样，数本身就是美的。数学的整个领域都是及其浪漫的，无处不充满了高维度的纯美。而完全数就是这美的代表(有没有人反对？) 完全数(perfect number),又称完美数，完满数，指的是具有如下特性的数：即该数所有真约数(除了该数本身之外的约数)之和为  
该数本身。多么简单的特性，只需一行字便可以表述。然而在简洁的背后，却有着丰富的内涵与无穷的吸引力。(事实上，就如同费马大定理一样，简洁的表述与困难的解法正是衡量一个数学问题魅力的标准。)举例来说：6＝1＋2＋3，28＝1＋2＋4＋7＋14。如果你有兴趣，可以验证496与8,128是接下来的两个次小的完全数。古希腊人就知道这么多，虽然他们为没能看到一个奇数完全数而遗憾。不过，富于想象力的希腊人还是从这几个数中看到了一些有趣的东西。比如它们分别为1位，2，3，4位数，而且尾数是6或8, 交替出现。于是他们推测（美丽的起步): 第n个完全数将是n位数，而且尾数是
6或8，并江交替出现。个人而言，我对古希腊人充满了景仰。爱琴海湛蓝的海水竟能孕育出苏，柏，亚等照耀全世界文明的哲人，与旷世唯一的欧几里德，和那许多动人的人神传说。我曾不止一次地幻想头顶一个水罐，象个奴隶(文明的奴隶)般地倘佯在雅典的街头...  

10 。 完全数之迷之古希腊人的猜测

上回书说到古希腊人对完全数的两个猜测，而且表面上颇有令人心动的号召力，但遗憾的是，随着人们发现了更多的完全数，这两个猜测也不攻自破了。第五个完全数是33，550，336，是个8位数(而不是5位)。接下去的三个完全数分别为：8,589,869,056(10); 137,438,691,328(12);
2,305,843,008,139,952,128(19). 可以看到，完全数的位数在迅速增多，希腊人的猜测显然偏离了方向。事实上，第30个完全数赫然是个13万位的庞然大物。而假设之二也不成立，因为第5，6个完全数的尾数都是6，并非以6，8交替出现。但是，虽然时至今日，科学家们已经知道了30个完全数，其尾数仍然没能突破6或8的模式。这一次，古希腊人猜对了吗？谁知道呢？(斑竹评述:现在已经发现了38个完全数)

11 。 完全数之迷之欧几里德的公式

提到完全数，就不能不说说欧几里得和他在这个领域的天才闪现。当时，古希腊人只知道4个完全数，当伟大的欧几里得竟从中看到了这样一个公式：
2^(n-1)*(2^n-1),当n分别取2，3，5，7时，该公式就分别得出了6，28，496和8128 ---- 前4个完全数！(赞美欧几里得吧，他无愧于一切的赞美！)更仔细地审视这个公式，我们会发现更多有趣的东西：当以这个公式得出前4个完全数的时候，n为2，3，5，7，全是素数！不奇怪吗？而事实上，此时的2^n-1也分别取3，7，31，127，也竟然全为素数!偶然的背后，是否隐藏着某些本质的东西呢？记得在大约两个月前的一篇文章里，我曾经给出过一个证明，既2^n-1为素数的必要条件是n为素数。(不好意思，不是我证的。)但n为素数并非充分条件。举例来说：当n=11时, 2^n-1=2047=23*89.而欧几里得则证明了，一旦2^n-1为素数，该公式将导出一个完全数。在那2000年后的18世纪，一位瑞士的数学家尤勒更进一步地证明了该公式将给出全部的偶数完全数！非常令人振奋的结果吧！但人们继而有两个问题要问。其一，偶数完全数是否是无穷的？2^n-1为素数的条件是什么？其二，是否存在奇数完全数？虽然江山代有才人出，但遗憾的是，这两个问题仍悬而未决。在接下来的篇章里，我将分别论述这两大谜团。  

12 。 完全数之迷之奇数完全数

花开两朵，各表一枝。这回先讲讲奇数完全数的故事。(因为关于奇数完全数的资料只搞到一点，一次灌完算了)简单地讲，奇数完全数之所以吸引人，只是因为至今人民还不曾找到一个。 然而就如同夸克的故事一样，至今也没有一个人敢壮着胆子说一声：“这玩意儿根本就不存在！”欧几里德给出了能导出所有偶数完全数的公式(虽然他还没来得及指明在何种条件下，该公式必能导出一个偶数完全数)。不过人们一直还没有求得一个奇数完全数。敏感好奇的科学家们孜孜以求，所得也只不过是一些周边的限制条件(不过这些限制条件看起来很令人吃惊)。总地来说，如果确实存在奇数完全数的话，它至少要满足以下条件：1。至少能被8个素数整除，其中最大的一个应大于300,000。次大的也要大于1,000.2。若它不能被3整除，它至少应被11个素数整除。3。它是12k+1的形式。4。它是36k+9的形式。另外还有人借助计算机证明了，在10^50之下不存在奇数完全数。而据说这个下限正渐渐地被往上推。记得几个月前，我似乎在哪儿又看到了有关的最新消息，可惜，我忘记了。恐怕有人不禁要问一声:\"老兄，到底奇数完全数存不存在？\" 问地好！但这就是游戏规则。你不能证明他对，并不意味着你能说他错。当你忘不了一个人的时候，爱上他吧！当你找不到奇数完全数的时候，忘了他吧！  

13 。 完全数之迷之梅森素数

在初等数论领域里，曾有许多才智出群的业余数学天才活跃一时(现在的数学越来越专门艰深，我作一个业余数学家的梦想也终遭幻灭).费马，梅森，etc. 今天要讲的梅森，就同完全数有着千丝万缕的联系。梅森，17世纪时的一位法国神职人员，把所有的业余时间都用在了对数学的钻研上，并因在所谓的梅森素数上的成就而载名史册。所谓的梅森素数，就是指形如2^n-1的素数. 读过前文的虫虫一定会眼前一亮：咦? 这不是欧几里德公式里的关键部分吗!不错，根据欧几里德的公式，每求得一个梅森素数，就自动会得到一个偶数完全数。梅森在1644年说，2^13-1,2^17-1和2^19-1这三个梅森数都是素数，他还断言，2^67-1也是素数！在接下来的250年里，没有人敢对这一大胆的声言提出疑问(他们没有计算机!)(以下全文摘抄于<<阿基米德的报复>>一书)1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇慎重的论文，题目为：论大数的分解因子。数学史家贝尔记下了这一时刻所发生的事:\"一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算2^67.然后小心地减去1，得到一个21位的庞然大物：147,573,952,589,676,412,927. 他仍一语不发地移道黑板上的空白处，一步步作起了乘法运算:193,707,721*761,838,257,287.两次计算结果相同。梅森的猜想--假如确曾如此的话--就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是唯一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下，没有人向他提任何问题.\"

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1。有限单群

  我们知道，数学的发展中有一个基本观念———群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G
                       g H g -1∈H  
则称H为正规的(normal). 正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(simple group).单群除了它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的正规子群(normal subgroup). 数学上称其为简单群，其实一点也不简单。有限群论的一个
深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An (n>=5), Lie型单群)外，后来发现了26个零零碎碎的有限单群(散在单群，离散单群), 现在知道，最大的散在单群的阶是:
            41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=10  
这是很大的单群，由B.Fisher 和 R.L.Griess两位数学家所发现，数学家称它为魔群(怪物，Monster). 单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数学上一个很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并未将证明定出来。他讲若将证明写出来至少有1000页，而1000页的证明无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说，不要紧，若有错误，这个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀疑这样的证明是否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还需要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无法解决。段学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，当你不能做或不喜欢做一个问题时，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜欢做的问题。

2 。四色问题

把地图着色，使得邻国有不同的颜色，需要几种颜色？经验告诉我们，四色够了。但是严格的证明极难。这就是有各的四色问题。地图不一定在球面上，也可在亏格高的的曲面上(一个亏格高为g的曲面在拓扑上讲是球面加g个把手；亏格为1的曲面可设想为环面)。可惊奇的是，这个着色问题，对于
g>=1的曲面完全解决了。可以证明：有整数χ(g),满足条件：在亏格为g的曲面上任何地图都可用χ(g)种颜色着色，使邻国有不同颜色，且有地图至少需要χ(g) 种颜色。这个数在g>=1时可以完全确定。我们知道 χ(1)=7，即环面上的地图可用七色着色，四色不够。令人费解的是，证明地球上四色定理，困难多了。现有的证明，需要计算机的帮助，与传统的证明不同。而我们觉得最简单的情况，即我们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。把扩充的问题解决了，得到了很有意思的结论。但是回到基本问题，反而更难。这种现象不止这一个，还有很多，一个例子是所谓的低维拓扑，即推广的问题更简单，而本身核心的问题反而不易克服，这确是数学神秘性的一面。

3 。椭圆曲线

最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方程式
                        x n+ yn = zn ,n>2  
没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明，最近由Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段，是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat 定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期“Annals of Mathematics\"(Prinston大学杂志，1996，第一期)整个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理(Wiles 为此同Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National Academy Science Award in Mathematics). 有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一个分支。有以下一则故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如
                        1729 = 13 + 12 3= 93 + 103  
这结果可用椭圆曲线论来证明。我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程P(x,y) = 0(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是数论中的一个主要问题。需要说明的，在Wiles 完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A. Ribet ,他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。所谓椭圆曲线，就是把这个曲线看成复平面内亏格(genus)等于1的复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面的点有一个可交换群的构造。两个点可以加起来，且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所有曲线的亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于—1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科学杂志(Science)，有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性的，题为“代数几何与代数数论”的会议，由冯克勤先生主持。从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙，学问之奥，令人拜赏。我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定要吸取几千年所有的进步。

4 。球装问题(Sphere Packing)  

如何把一定的空间装得最紧，显然是一个实际而重要的问题。项武义教授最近在这方面做了很重要的工作。这里先介绍一个有关的问题：围着一个球，可以放几个同样大小的球？我们不妨假定球的半径为一，即单位球。在平面情形，绕一单位圆我们显然可以放6个单位圆。而在三维空间的情况则更为复杂。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才给了一个证明。这个证明是很复杂的。一个更自然的问题是怎样把一个立方体空间用大小相同的球装得最紧。衡量装得是否紧凑的尺度是密度(density)，即所装的球的总的体积和立方体空间的体积的比例。Kepler于1611年提出了一个猜想：他认为立方体的球装的密度不会大于π/(18^1/2). 项武义说他证明了这个猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)认为他的证明不完全，甚至有人(Thomas L.Hales)说是错误的。
\"Mathematical Intelligencer\"这个杂志上(1995年),有关于这一问题的讨论，项武义有个答复。Toth 是匈牙利数学家，三代人搞同一个课题。匈牙利数学很发达，在首都布达佩斯有个200多人的几何研究所。我不知道几何中是否有这么多重要的问题需要这么多人去做。最年轻的Toth在“Mathematics Reviews\"中有篇关于项的文章的评论。他说项的文章有些定理没有详细的证明。天下的事情就是这样。做重要工作有争议的时候，便产生一些有趣的现象。不过他觉得项的意思是对的。不但项的意思是对的，甚至表示这个意思他从前也有。最近项武义抒他认为没有的证明都有写出来了。最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而因难的部分。即使平面几何也可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。。球装不过是立体几何的一个问题。立体几何是大有前途的。(斑竹评语:这个问题很有意思,有一个网站有更多的球装内容,还有覆盖问题等等,并有大量的图形,非常值得一看:
            http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html)

5 。Finsler几何  

最近经我鼓励，Finsler几何有重大发展，作简要报告如次：在(x,y)平面上设积分
                        s = ∫baF(x,y,dy/dx)dx
其中y是x的未知函数。求这个积分的极小值，就是第一个变分学的问题。称积分s为弧长，把观念几何化，即得Finsler几何。Gauss看出，在特别情形：
                       F =E2(x,y) + 2F(x,y) y&#39; +G2(x,y)y&#39; ,y&#39;=dy/dx  
其中E,F,G为x,y的函数，几何性质特别简单。1854年，Riemann的讲演讨论了整个情形，创立了Riemann-Finsler几何。百余年来，Riemann几何在物理中有重要的应用，而整体Riemann几何的发展更是近代数学的核心部分。Riemann的几何基础包含Finsler几何。我们最近几年的工作，把Riemann几何的发展，局部的和整体的，完全推广到Finsler几何，而且很简单。因此，我觉得以后的微分几何课或Riemann几何课都应该讲一般情形.最近有几个拓扑问题.最主要的一个是Riemann流形的一个重要性质，即英国数学家Hodge的调和积分。现在有2个年轻人，一个是David Bao, 另一个是他的美国学生，抒这个Hodge的调和积分推广到了Finsler情形。这将是微分几何的一块新园地，预料前景无限。1995年夏在美国西雅图有一Finsler几何的国际会议。其论文集已于今年由美国数学会出版.Finsler 几何在1900年有名的Hilbert演讲中是第23个问题。

6 。中国的数学  

数学研究的最高标准是创造性：要达到前人未到的境界，要找着最深刻的关键。从另一点看，数学的范围，是无垠的。我愿借此机会介绍一下科学出版社从俄文翻译的《数学百科全书》，全书5大卷，每卷约千页。中国能出版这样的巨著,即是翻译，也是一项可喜的在就。这是一部十分完备的百科全书，值得赞扬的。对着如此的学问大海，入门必须领导，便需要权威性的学校和研究所。数学是活的，不断有杰出的贡献，令人赞赏佩服。但一个国家，比较可以集中某些方面，不必完全赶时髦。当年芬兰的复变函数论，波兰的纯粹数学，都是专精一门而有成就的例子。中国应该发展实力较强的方面。但由百科全书的例子，可看出中国的数学是全面的。这是一个可喜的现象。中国的财富在“人民”。中国的数学政策，除了鼓励尖端的研究以外，应该用来提高一般的数学水平。我有两个建议：(1)设立数学讲座，待遇从优，其资格可能是对数学发展有重大贡献的人；(2)设立新的数学中心，似乎成都，西安，广州都是可能的地点。中心应有相当的经费，部分可由地方负担，或私人筹措。近年因为国家开放，年轻人都想经商赚钱，当然国家社会需要这样的人。但是做科学的乐趣是一般不能理解的。在科学上做了基本的贡献，有历史的意义。我想对于许多人，这是一项了不得的成就。在岗位上专心学问，提携后进，“得天下之英才而教育之“，应该是十分愉快的事情。一个实际的问题，是个人应否读数学。Hardy 说，一个条件是看你是否比老师强。这也许太强一些。我想学习应不觉困难，读名著能很快与作者联系，都是测验。数学是小科学，可以关起门来做。在一个多面竞争的社会中，是一项有优点的职业，即使你有若干能力。中国的数学有相当水平。年来政治多变，达此情况，足风中华民族的勤劳本质。从前一个数学家的最高标准，是从国外名大学获得博士学位。我们国家现在所包需做的，是充实各大学的研究院，充实博士学位，人才由自己训练。致谢 本文承葛墨林，陈永川教授帮助整理，特此致谢。

7 。优美的数学定理  

　 数学定理一般都被认为是枯燥无味的，哪里有什么美可言 。但数学家们有他们自己的审美标准，能从大家认为干瘪瘪的定理中发现美。几年前读过一篇数学小品文，文中讨论什么样的数学定理可以称之为美。有些数学家认为简单就是美，有些数学家认为清楚明确就是美，有些数学家认为深刻才是美。文中列出二十四个被当今数学家认为最简明，最优美的数学定理让许多大数学家打分。这些定理的确都很简明，定理叙述最多两行字。得分最高的是众所周知的复数等式：
                   ｅｉπ＋１＝０
称其为美的原因是，小小一个等式，包含了数学（或大自然）中最重要的五个常数：０，１，π，ｅ，ｉ，真是绝了。这个定理我中学就知道了，但却从来没有发现其中之美。一方面大约是因为数学修养还不够，另一方面是因为从来没有从美的方面来看数学定理。那一篇文章中提到的其它二十三个优美的数学定理许多都与数论有关，不太适合放在这里。所以，我们只选两则比较大众化的供大家欣赏。正好上期的题目比较难，这期的题目相对容易一些。

8 。 数学的第三次危机

在科学技术中，当一种反常现象与通常理论发生冲突时，就会出现理论方面的危机。在数学发展史上，已经经历了三次危机: 公元前5世纪，由于古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数而与该学派所信奉的\"一切数皆可用有理数来表示\"相矛盾，从而导致了第一次的危机; 在18世纪，由于牛顿，莱布尼兹等人在早期微积分工作中缺乏坚实的理论基础而出现了第二次危机; 到了19世纪下叶，康托创立了集合论，按理这是数学史上的一大进步。但是在集合论的研究过程中，却出现了数学史上的第三次危机。这次危机是由于集合论的悖论所引起的。所谓悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证十分严格的一个数学分支。1903年，英国逻辑学家，数学家，诺贝尔和平奖获得者罗素却对集合论提出了以他的名字命名的\"罗素悖论\"。后来，他用一个\"理发师悖论\"来形象地说明自己的悖论: 一个乡村理发师宣布一项原则: 他给而且只给本村那些不给自己刮脸的人刮脸。于是就产生了一个问题: 他给自己刮脸吗? 很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则。用集合论的语言可以把这一悖论表述如下: N是一个集合，它是由那些不属于元素x自身的元素组成，即N={x|x不属于x}。那么，N是否属于集合N呢? 显然，无论在什么情况下都是自相矛盾的。由于19世纪末严格的微积分理论的建立，第一，二次的危机已经解决。然而，建立严格的微积分的理论基础是集合论，而集合论的诞生却又偏偏出现了\"罗素悖论\"，因而数学面临着更严重的危机，其理论基础也发生了动摇。20世纪初，罗素悖论构成的危机确实震撼了国际数学界，但是，有危机并非总是坏事，在科学中，理论的突破是通过科学革命实现的，而科学革命则往往是由危机促成的。危机是科学中新理论出现的前奏。后来的事实也证明了这一点。罗素悖论的提出，促使
更多的科学家去研究集合论的无矛盾问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支------ 公理集合论。目前已形成了几个学派，各有各的看法，也各有各的道理(这点小冬就知之不详喽!)。众说纷纭，莫衷一是。正如实现的其它分支一样，还有不少重大课题有待人们去发现和研究。  

9 。 能写出所有素数的公式

在公式A=(n-1)*(||B*B-1|-(B*B-1)|)/2+2, 其中B=m(n+1)-(n!+1)中，m,n以自然数代入，所得的结果一定是素数。 这就是自欧几里德在<<几何原本>>证明了素数是无限多个后，多少世纪以来人们一直所寻找的能写出所有素数的公式! 不难看出，A一定是整数，且有: 若B=0,有A＝n+1; 若B!=0, 有A=2.
B!=0时，A已为素数，当B=0, 即m(n+1)-(n!+1)=0, 即m=(n!+1)/(n+1).在初等数论中有一著名的定理叫做\"威尔逊定理\", 可陈述为(n!+1)/(n+1)为整数的充要条件是n+1是素数。所以B=0时，m=(n!+1)/(n+1)为整数，故A＝n+1必为素数。  (斑竹评语:这种公式有很多,比如威尔逊定理也是一个素数公式,我还有一位朋友包兄也发现了一个这种公式,请去他的网页瞧瞧:http://person.zj.cninfo.net/~bao)

10 。 完全数之迷之最初的4个完全数

正如毕达哥拉斯及其学派所认为的那样，数本身就是美的。数学的整个领域都是及其浪漫的，无处不充满了高维度的纯美。而完全数就是这美的代表(有没有人反对？) 完全数(perfect number),又称完美数，完满数，指的是具有如下特性的数：即该数所有真约数(除了该数本身之外的约数)之和为  
该数本身。多么简单的特性，只需一行字便可以表述。然而在简洁的背后，却有着丰富的内涵与无穷的吸引力。(事实上，就如同费马大定理一样，简洁的表述与困难的解法正是衡量一个数学问题魅力的标准。)举例来说：6＝1＋2＋3，28＝1＋2＋4＋7＋14。如果你有兴趣，可以验证496与8,128是接下来的两个次小的完全数。古希腊人就知道这么多，虽然他们为没能看到一个奇数完全数而遗憾。不过，富于想象力的希腊人还是从这几个数中看到了一些有趣的东西。比如它们分别为1位，2，3，4位数，而且尾数是6或8, 交替出现。于是他们推测（美丽的起步): 第n个完全数将是n位数，而且尾数是
6或8，并江交替出现。个人而言，我对古希腊人充满了景仰。爱琴海湛蓝的海水竟能孕育出苏，柏，亚等照耀全世界文明的哲人，与旷世唯一的欧几里德，和那许多动人的人神传说。我曾不止一次地幻想头顶一个水罐，象个奴隶(文明的奴隶)般地倘佯在雅典的街头...  

10 。 完全数之迷之古希腊人的猜测

上回书说到古希腊人对完全数的两个猜测，而且表面上颇有令人心动的号召力，但遗憾的是，随着人们发现了更多的完全数，这两个猜测也不攻自破了。第五个完全数是33，550，336，是个8位数(而不是5位)。接下去的三个完全数分别为：8,589,869,056(10); 137,438,691,328(12);
2,305,843,008,139,952,128(19). 可以看到，完全数的位数在迅速增多，希腊人的猜测显然偏离了方向。事实上，第30个完全数赫然是个13万位的庞然大物。而假设之二也不成立，因为第5，6个完全数的尾数都是6，并非以6，8交替出现。但是，虽然时至今日，科学家们已经知道了30个完全数，其尾数仍然没能突破6或8的模式。这一次，古希腊人猜对了吗？谁知道呢？(斑竹评述:现在已经发现了38个完全数)

11 。 完全数之迷之欧几里德的公式

提到完全数，就不能不说说欧几里得和他在这个领域的天才闪现。当时，古希腊人只知道4个完全数，当伟大的欧几里得竟从中看到了这样一个公式：
2^(n-1)*(2^n-1),当n分别取2，3，5，7时，该公式就分别得出了6，28，496和8128 ---- 前4个完全数！(赞美欧几里得吧，他无愧于一切的赞美！)更仔细地审视这个公式，我们会发现更多有趣的东西：当以这个公式得出前4个完全数的时候，n为2，3，5，7，全是素数！不奇怪吗？而事实上，此时的2^n-1也分别取3，7，31，127，也竟然全为素数!偶然的背后，是否隐藏着某些本质的东西呢？记得在大约两个月前的一篇文章里，我曾经给出过一个证明，既2^n-1为素数的必要条件是n为素数。(不好意思，不是我证的。)但n为素数并非充分条件。举例来说：当n=11时, 2^n-1=2047=23*89.而欧几里得则证明了，一旦2^n-1为素数，该公式将导出一个完全数。在那2000年后的18世纪，一位瑞士的数学家尤勒更进一步地证明了该公式将给出全部的偶数完全数！非常令人振奋的结果吧！但人们继而有两个问题要问。其一，偶数完全数是否是无穷的？2^n-1为素数的条件是什么？其二，是否存在奇数完全数？虽然江山代有才人出，但遗憾的是，这两个问题仍悬而未决。在接下来的篇章里，我将分别论述这两大谜团。  

12 。 完全数之迷之奇数完全数

花开两朵，各表一枝。这回先讲讲奇数完全数的故事。(因为关于奇数完全数的资料只搞到一点，一次灌完算了)简单地讲，奇数完全数之所以吸引人，只是因为至今人民还不曾找到一个。 然而就如同夸克的故事一样，至今也没有一个人敢壮着胆子说一声：“这玩意儿根本就不存在！”欧几里德给出了能导出所有偶数完全数的公式(虽然他还没来得及指明在何种条件下，该公式必能导出一个偶数完全数)。不过人们一直还没有求得一个奇数完全数。敏感好奇的科学家们孜孜以求，所得也只不过是一些周边的限制条件(不过这些限制条件看起来很令人吃惊)。总地来说，如果确实存在奇数完全数的话，它至少要满足以下条件：1。至少能被8个素数整除，其中最大的一个应大于300,000。次大的也要大于1,000.2。若它不能被3整除，它至少应被11个素数整除。3。它是12k+1的形式。4。它是36k+9的形式。另外还有人借助计算机证明了，在10^50之下不存在奇数完全数。而据说这个下限正渐渐地被往上推。记得几个月前，我似乎在哪儿又看到了有关的最新消息，可惜，我忘记了。恐怕有人不禁要问一声:\"老兄，到底奇数完全数存不存在？\" 问地好！但这就是游戏规则。你不能证明他对，并不意味着你能说他错。当你忘不了一个人的时候，爱上他吧！当你找不到奇数完全数的时候，忘了他吧！  

13 。 完全数之迷之梅森素数

在初等数论领域里，曾有许多才智出群的业余数学天才活跃一时(现在的数学越来越专门艰深，我作一个业余数学家的梦想也终遭幻灭).费马，梅森，etc. 今天要讲的梅森，就同完全数有着千丝万缕的联系。梅森，17世纪时的一位法国神职人员，把所有的业余时间都用在了对数学的钻研上，并因在所谓的梅森素数上的成就而载名史册。所谓的梅森素数，就是指形如2^n-1的素数. 读过前文的虫虫一定会眼前一亮：咦? 这不是欧几里德公式里的关键部分吗!不错，根据欧几里德的公式，每求得一个梅森素数，就自动会得到一个偶数完全数。梅森在1644年说，2^13-1,2^17-1和2^19-1这三个梅森数都是素数，他还断言，2^67-1也是素数！在接下来的250年里，没有人敢对这一大胆的声言提出疑问(他们没有计算机!)(以下全文摘抄于<<阿基米德的报复>>一书)1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇慎重的论文，题目为：论大数的分解因子。数学史家贝尔记下了这一时刻所发生的事:\"一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算2^67.然后小心地减去1，得到一个21位的庞然大物：147,573,952,589,676,412,927. 他仍一语不发地移道黑板上的空白处，一步步作起了乘法运算:193,707,721*761,838,257,287.两次计算结果相同。梅森的猜想--假如确曾如此的话--就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是唯一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下，没有人向他提任何问题.\"