求证一道貌似不可能的数学题

柠檬

本来是把帖子发到水区，想支持一下射手和GUNGUN老版主。
  为了水的有水平，特意注明了不要2006年6月后注册的那群孩子回帖。
  但是由于最近混水区的主干力量，都是他们，所以至今无人问津。就把这个帖子又发来杂谈了。月光给点面子哈。看在往日交情上，别删哈。
  题目是：怎么样能证明0.9（9的循环）＝1？
注：谢绝2006年6月7日后注册的ID跟帖
  同样向月光斑竹请求：凡6月后注册的用户发贴，全部删除。
  期待强人的正解~

天马小草

恭喜楼主也不能跟帖啦

柠檬

我是马甲，你没看出吗？我说的是除了我以外的其他人不能跟。

天马小草

大家快来看放烟花耶
放传说中失传已久的“马后炮”落。

落笑笑

牛犊不怕虎，水之又如何
1解：
设X=0.999999......⑴
则10X=9.9999999.....⑵
2式-1式得
9X=9
X=1

2解1÷3*3....


3解：
假设0.99999......为A，其中9有n多个，根据循环的定义可以知道n是无限的，也就是说n趋近于正无穷大。根据以上命题原先提供的条件和合理假设，则可以很肯定的知道：1-A=0.00000......（这里同时有n-1个0）根据极限的定义，可以得到：B→0.同时可以再次依据极限的定义知道LimB=0（n趋近于正无穷大）。从而可以知道A≡1.命题得证。
[s:27]

天马小草

0.99999......=0.9+0.09+0.009+....，实际就是无穷等比数列的和(公比为0.1)
　　
　　根据无穷递缩等比数列的所有项和公式：S= a/(1-q）（-1<q<0或0<q<1）
　　可以算得
　　0.99999......=0.9+0.09+0.009+........＝1

天马小草

　1/3=0.333333
　　2/3=0.666666
　　1/3+2/3=1
　　0.333333+0.666666=0.999999=1/3+2/3=1

天马小草

　先讨论有限个9的情况：
　　0.999...9（n个9）=0.9+0.9*0.1+0.9*0.1^2+...+0.9*0.1^(n-1)
　　 =0.9[ 1+ 0.1+ 0.1^2+...+ 0.1^(n-1)]
　　
　　其中0.1+0.1^2+...+0.1^(n-1)是首项为0.1、公比为0.1、末项为0.1^(n-1)、项数为n-1的等比数列。根据等比数列前N项和公式得
　　
　　0.1+0.1^2+...+0.1^(n-1)=0.1[1-0.1^(n-1)]/（1-0.1）
　　
　　代入原式
　　0.999...9（n个9）=0.9+0.9*0.1+0.9*0.1^2+...+0.9*0.1^(n-1)
　　 =0.9[ 1+ 0.1+ 0.1^2+...+ 0.1^(n-1)]
　　 =0.9{ 1+ 0.1[1-0.1^(n-1)]/（1-0.1） }
　　
　　 =0.9 + 0.1[1-0.1^(n-1)]
　　
　　即有限的n个9时 0.999...9（n个9）=0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]
　　
　　重大转折就在这里：
　　0.999...（无限多个9）怎么体现出来呢？即怎么从有限个9过度到无限个9呢？
　　上面，我们讨论的是有限的n个9，但是当n为无穷大量时就是0.999...（无限多个9）。也就是说n为无穷大量时就把无限多个9体现出来。所以
　　0.999...（无限多个9）=lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]}=1

柠檬

哇哈哈。。。月光要抓狂了。。。我本来是搞来大家一起乐的一个题目，你们两个，把这个做成了数学院的版啊？
你们不知道月光当年重修了N次数学的吗？太不给他面子啦～～

星晴

4567楼

未免也太~
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菡萏叶1985

0.999999.......你说要他等于1它就等于1!
数是死的，人是活的嘛！

tiramisu

都是强人啊