[原创]一种实数结构的探讨——超无穷维结构

工画堂

实数体系本来就具有最高的致密性，因而实际上，每个数（也就是形式上的每个点）在逻辑上都有无穷的扩展性，都有无穷的维度伸展潜能。为便于理解，举一个简单的例子，假定点 线与实数这种抽象的形构造实际在人脑理解世界的方式是相同的。 我们来考虑几何投影法 —— 一种虽不严格但算直观的形式。我们可以用来诠释点（数）的这种潜能。任何一个点在投影的操作下都可以映成一段线而产生质变也就是产生维度的变化。也就是说任何一个数点本质上在其内部都有无限的数点的构造。其实本身微积分中常用的“1+”，“1-”，“0+”，“0-” 也暗示了数（点）本身的无穷维的构造。

   我们不能够清晰的完全剥离出一个点来。也许有人说戴氏和康托尔，但本质上来说，这些选取点的方法，都是一种操作手法，而关键的是尴尬的用到了无限次的操作的概念。无限的操作本身就有问题，这也说明数点的捉摸不定。从本质上说一旦涉及对一个连续的整体进行“分割”“提取”的操作就会出现问题，因为这些操作本身对离散体系才有意义，如果将其对象换成连续整体这种方式就有了缺陷。另外微积分中的极限的定义也带有这种操作的痕迹 即是当X——>X0时极限为Y0或者说X——>0相同。其实我们根本无法把握这个连续的过程，只能从结果的片段来把握一种宏观的规律。因而平常所说的无限集与他的真子集对应成为了实数理论下的一个自然的结果，而不是一个用来做为无限或者其他概念性质的定义。

   实数理论的建立是分析的要求。而分析本身又有物理世界的背景，在物理哲学意义上探讨数的问题有时候会有一定的指导意义。从理解上来说，在相对显现的这个世界，数也应该在相对中呈现出“量”的指示和“质”的指示。而数系本身就有集合的这种性质，“超无限”便是实数“稠密”的本质。

   在这种意义下（实数的超无穷维的构造），我们平常用的一些符号的指示意义就有了新的解释。0与无穷大其实应该具有质的指示意义，他们量的意义就不很明显了，甚至应该被禁止。如同我们发现0在现在简单的乘除运算体系中的不适用。[X/0无意义] 因为是一个量符号与一个质符号的运算。这种不同维的因而不严密的运算应该在某种范围内被禁止。0与无穷有任意相对的低维量和高维量的指示意义，是对“存在”这个维上的所有量的整体的高一维的否定。。-1是一种欠缺，明确了对象后的否定，而负数正数在同一个维度上。


   也许在数学形式上应该有一种精确的数学计算形式：a/0的N次方=无穷的N次方。而数学精确的关键是将连续通过一种精确的方式离散化，使元素明确而可以进行操作把握。 （0，1）并不能分割，只有 我们先定义了（0，1/2），[1/2，1）为两个元素才能够进行分割的操作，但这样定义也定会将本来的整体解构，也就消解了他的存在。这是在讨论数系问题上“分析”的硬伤。运用选择公理分割组合一个圆会出现的奇怪结果问题也是类似一个例子。

   或者应该建立一个完备的包含分数维的数的表示体系（泰勒级数本身就带有这种暗示）。运算时便就有了精密性的表示。在哲学意义上，进行一个操作必定会有结果的变化的，X+0=X是在X的维度上考虑的，但0确实改变了X的分数维度上的量。在离散的视角下我们的思维可以捕捉并理解这种变化。但有一个缺陷是我们在连续变化的无限操作中年并不能理解质变的过程。（这里有两个例子——芝诺悖论中的龟兔问题和0.9无限循环=1）我们不能在连续的操作的角度理解“总取其半，而为0”，因为这是个无限的过程或者说是操作，因此我们也不能理解连续的运动因为我们同样也把握不料这个过程。我们只能在离散的思维角度，果断的判定发生了质变。其中的过程就逃离了我们的思维我们的把握。 微积分便是这种思想的数学形式，我们先自由意志的定义了X——>0这个过程的实现，在利用这个元例来实现其他质变过程的可能性。实现了整数维度的跳跃。

   我们应该在更精确的要求下来重构一个实数体系，寻找“实数”的终极指示，以至“分析”等数学体系的概念澄清。无穷维的形式或许为这个体系的架构提供了一个好的形式。