分形纪事

opaque

文艺复兴时期著名艺术家、科学家丢勒(Albert Durer，1471-1528)基于正五边形向外无穷 复制，生成了一个分形体。

1827年英国植物学家布朗(R.Brown,1773-1858)用显微镜发现微细颗粒在液体中作无规行走 ，此现象被称为布朗运动。后来科学家对布朗运动进行了多方面的研究，维纳(N.Wiener， 1894-1964)等人在此基础上创立随机过程理论。进入80年代，人们以分形的眼光看待布朗运 动，并与“列维飞行”(Levy flight)相联系，找到了确定论与随机论的内在联系。

学过微积分的人都知道，函数的可微(即可求导数)性与连续性有内在联系。两者的关系是可 微的函数必定连续，但连续的函数未必可微。一个简单的例子就是函数y=｜x｜在x=0处连续，但不可微。这个函数只有这么一个特别的点，除此以外其他点都可微。有 的函数在有限个点处是不可微的，也有更特别的函数，它们几乎处处不可微。

1860年，瑞士一个名气不算大的数学家塞莱里埃(C.Cellerer,1818-1889)在课堂上向皮克太 特(R.Pictet)等学生讲解：“连续函数必定可微”的流行观念是错误的，并给出了一个类似 维尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815-1897)函数的反例。黎曼(G.F.B.Riemann, 1826-1 866)的学生曼海姆(J.H.Manheim)等人回忆说，大约在1861年，黎曼在讲座中提到了类似的 例子，但未发表。

不过，1970年有人证明，塞莱里埃函数和黎曼函数不同于维尔斯特拉斯函数，它们不是处处 不可微的，在某些点上它们是有导数的。

1872年7月18日，维尔斯特拉斯向柏林科学院报告了分析学中的一个反例--一个处处连续、 但处处不可微的三角函数级数，即著名的维尔斯特拉斯函数。不过此函数直到1875年才由 杜布瓦-雷蒙(E.du Bois-Reymond)正式发表出来。

据考察，在维尔斯特拉斯之前，已有不少数学家知道存在所谓的“维尔斯特拉斯函数”，但 都耻于发表它!因为它破坏了分析学的完美性。大约在1834年波尔查诺(B.Bolzano，1781-18 48)构造过类似的函数，但他可能并不知道它有那样“可怕的”性质。

1883年，康托尔(G.F.P.Cantor,1845-1918)构造了三分集，也叫康托尔非连续统(Cantor di scontinuum)。它与实直线是相对立的，当时人们觉得它几乎是病态的。如今它已成为分形 几何学的最典型、最简单的模型。

1890年，皮亚诺(G.Peano,1858-1932)提出充满空间的曲线——皮亚诺曲线。

1891年，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)在《数学年刊》(Mathematische Annalin )上发表短文，提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。

1904年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch,1870-1924)构造出柯赫雪花曲线。

1915-1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski,1882-1969)构造了谢氏曲线、海绵、 墓垛。谢氏地毯是平面万有曲线(plane universal curve),谢氏海绵是空间万有曲线。奥地 利数学家门格尔(K.Menger)证明，任何曲线都可嵌入谢尔宾斯基地毯中。

1918年，康托尔去世。

1919年，豪斯道夫(F.Hausdorff,1868-1942)给出维数的新定义，为维数的非整化提供了 理论基础。

1918-1920年左右，法国数学家朱丽亚(G.Julia,1893-1978)、法图(P.J.L.Fatou,1878-1929 )研究复迭代。朱丽亚于1918年(当时他25岁)在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了长达1 99页的杰作，一举成名。

1924年11月20日芒德勃罗生于波兰。



1925年柏林大学的克莱默(H.Cremer)组织讨论班学习朱丽亚的工作，并首次手工绘制了朱丽 亚集的图象。

1926年，洛特卡(A.J.Lotka,1880-1949)提出洛氏定律。里查逊就“风”是否具有一定的速 度发表议论。

1932年，庞特里亚金(L.S.Pontryagin,1908- )给出盒维数的定义。

1934年，贝塞克维奇(A.S.Besicovich,1891-1970)给出维数新定义。

1936年芒德勃罗全家迁到巴黎。大约在1945年，他的叔叔芒德勃罗伊(S.Mandelbrojt,1899- 1983)向他介绍了朱丽亚的工作，但当时他并不喜欢朱丽亚那一套。可是大约在1977年，芒 德勃罗自觉地回到了朱丽亚的论文里汲取营养。

40年代末齐夫(G.K.Zipf，1902-1950)总结出不同语言中词频分布的幂律关系。

1952年，芒德勃罗获博士学位。

1954年，波兰数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,1887-1972)讨论“长度”悖论，引起芒德勃 罗注意，芒氏在1967年的“海岸线”文章中引用过此文。

1961，1963，1965年芒德勃罗开始研究棉花价格，帕累托(V.Pareto,1848-1923)收入分布。

1967年，芒德勃罗在《IEEE信息理论学报》上发表论文《具有1/f谱的某些噪声，直 流与白噪声之间的一座桥梁》。

1967年芒德勃罗在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的 著名论文。

1968年美国生物学家林德梅叶(A.Lindenmayer,1925-1989)提出研究植物形态与生长的“L系 统”方法。1990年普鲁辛凯维奇(P.Prusinkiewicz)与林氏出版《植物的算法美》(The Algorithmic Beauty of Plants)一书。史密斯(A.R.Smith)等人80年代将L系统引入计 算机图形学，L系统从此广为人知。现在，L系统是生成分形图形的最典型方法之一。

1975年，芒德勃罗创造分形(fractal)一词，以法文出版专著《分形对象》；沃斯(R.F.Voss ,1948- )用分形的思想研究音乐中的1/f噪声问题。沃斯在计算机上制作出“分形山 脉”(被芒氏引作1977年专著的封底)。

1977年，芒德勃罗出版英文版专著《分形：形、机遇与维数》，它是1975年法文版《分形对 象》的增补本。

1977年9月在英国塞尔福特(Salford)举行颗粒粒度分析会议，分形思想引入粒度分析。

1981年，美国洛斯阿拉莫斯(Los Alamos)国立实验室成立非线性研究中心(CNLS)，以后世界 各国相继成立许多非线性科学中心。

1981年维腾(T.A.Witten)和桑德(L.M.Sander)提出著名的DLA分形生长模型。

1982年，芒德勃罗出版《分形：形、机遇与维数》一书的增补版，改名《大自然的分形几何 学》。

80年代初，弗尔聂(A.Fournier)、富塞尔(D.Fussell)、卡本特(L.Carpenter)将分形图形推 向好莱坞影视业，主要影片有《星际旅行之二：可罕之怒》(Star Trek Ⅱ：The Wrath of Khan)、《最后的星球斗士》(The Last Starfighter)。

1982年，道阿弟(A.Douady)和哈伯德(J.H.Hubbard)等证明芒德勃罗集是单连通的。

1983年格拉斯伯格（P.Grassberger)和普洛克西娅(I.Procaccia, http://chemphys.weizmann.ac.il/~cfprocac/ home.html）提出了从实验数据序列求分维的算法，现在通称为G-P算法。

1984年《数学信使》(The Mathematical Intelligencer)杂志和德国的《GEO》杂志 刊登布来梅大学动力系统研究小组的分形艺术图片。

1985年，芒德勃罗荣获巴纳杰出科学贡献奖章(Barnard Medal for Meritorious Service t o Science)。1985年5月，芒氏受邀请去布来梅大学为分形艺术图形展览揭幕。

1985年法尔柯内(K.J.Falconer)的专著《分形集的几何学》(The Geometry of Fractal Sets)出版。

1985年昂伯格（D.K.Umberger）和法默（J.D.Farmer）提出胖分形(fat fractal)概念。胖 分形是指具有分形边界且勒贝格(H.L.Lebesgue,1875-1941)测度不为零的集合。胖分形的勒 贝格测度为非零有限值，维数为整数而且与所在的欧氏空间维数相等。分维已经不是描述胖 分形的敏感参数，需要引入胖分形指数来刻画它。

80年代中期美国洛斯阿拉莫斯非线性科学中心将非线性科学要研究的问题归纳为三个方面： 1)孤子和拟序结构；2)混沌和分形；3)斑图(patterns)的形成。

1986年，芒德勃罗荣获富兰克林奖章。

1986年北京大学成立非线性科学中心，挂靠在力学系。

1986年培特根(H.-O.Peitgen,1945- )和里希特(P.H.Richter)出版《分形之美：复动力系 统图象》画册，书中包括88幅全彩色分形图形，分形图形艺术正式诞生，此书1987年荣获“ 杰出技术交流奖”(Distinguished Technical Communication Prize)。

1986年迪万内(R.L.Devaney,1948- )的专著《混沌动力系统导论》(Introduction to Ch aotic Dynamical System)出版，该书以很大篇幅讲述与分形有关的复解析动力学。

1985-1988年，巴恩斯利(M.F.Barnsley,1946- )等人研究迭代函数系统(IFS)，试图解决图 形生成的逆问题--对已知图象找分形压缩算法，创建分形图形公司，分形技术开始推向市 场，1988年出版专著《处处得分形》(Fractal Everywhere)。

1987年芒德勃罗荣获亚历山大·洪堡奖(Alexander von Humboldt Prize)，1988年荣获斯坦 因迈兹奖章(Steinmetz Medal)。

1988年费德(J.Feder)著《分形》一书出版。

1988年，纽约时报记者格莱克(J.Gleick,1954- , http://www.around.com)著畅销书《混沌：开创新科学》(Chaos:Making a New Science)出版，该书先后被译成近20种文字，书中收有多幅彩色分形图片。

1989年芒德勃罗荣获哈维(Harvey)奖。

1989年7月在成都四川大学召开“第一届全国分形理论及应用学术讨论会”。1991年11月在 武汉华中理工大学召开第二届会议。1993年10月在合肥中国科技大学召开第三届会议。

1990年英国成立了一家利用混沌/分形理论生产并出售计算机艺术品的商店“Strange Attra ctions”。

1990年李后强(1962- )、程光钺著《分形与分维》由四川教育出版社出版。

1991年英国创办国际学术性刊物《混沌、孤子和分形》(Chaos,Soliton and Fractals )。

1991年芒德勃罗荣获内华达奖章(Nevada Medal)。

1991年底中国国家攀登计划“非线性科学”项目(“八五”期间1991-1995)启动，到1995年 五年总资助金额498万，首席科学家为谷超豪(1926- )教授，挂靠单位为北京大学非线性科 学中心。“八五”期间在该项目资助下共发表论文1111篇，被《科学引文索引》(SCI)收录3 84篇。

1992年崔锦泰(C.K.Chui)著《小波导论》(An Introduction to Wavelets)在美国出 版。小波(wavelet)分析与分形联系日益紧密。

1993年新加坡创办国际学术性刊物《分形》(Fractals)。

1993年李后强、汪富泉(1955-)著《分形理论及其在分子科学中的应用》由科学出版社出版 。

1993年李后强等主编《分形理论的哲学发轫》由四川大学出版社出版。

1993年芒德勃罗荣获沃尔夫物理学奖(Wolf Prize in Physics)。1994年11月17日芒德勃罗 荣获本田奖(Honda Prize)。

1995年美国佐治亚理工学院著名学者、“混沌传教士”福特(Joseph Ford)不幸去世。在去 世前不久，他还热情地回答了作者的一些问题，并寄来许多材料。为表示对福特的纪念，作 者特别求助朋友用Internet传来一幅彩色照片(见左图)。福特去世的讣文发表在《今日物理 学》(Physics Today)1995年10月号。

1995-1996年中国科协“青年科学家论坛”两次举行非线性科学研讨会。

1995年王东生、曹磊著《混沌、分形及其应用》由中国科学技术大学出版社出版。

1996年北京大学非线性科学中心创办英文杂志《非线性科学与数值模拟通讯》(Communic ations in Nonlinear Science & Numerical Simulation)，在Internet上发行，由陈 耀松(1928- )任主编。此杂志现已被美国《工程索引》(EI)检索。

1996年4月中央工艺美术学院、北京市科协等主办“

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文艺复兴时期著名艺术家、科学家丢勒(Albert Durer，1471-1528)基于正五边形向外无穷 复制，生成了一个分形体。

1827年英国植物学家布朗(R.Brown,1773-1858)用显微镜发现微细颗粒在液体中作无规行走 ，此现象被称为布朗运动。后来科学家对布朗运动进行了多方面的研究，维纳(N.Wiener， 1894-1964)等人在此基础上创立随机过程理论。进入80年代，人们以分形的眼光看待布朗运 动，并与“列维飞行”(Levy flight)相联系，找到了确定论与随机论的内在联系。

学过微积分的人都知道，函数的可微(即可求导数)性与连续性有内在联系。两者的关系是可 微的函数必定连续，但连续的函数未必可微。一个简单的例子就是函数y=｜x｜在x=0处连续，但不可微。这个函数只有这么一个特别的点，除此以外其他点都可微。有 的函数在有限个点处是不可微的，也有更特别的函数，它们几乎处处不可微。

1860年，瑞士一个名气不算大的数学家塞莱里埃(C.Cellerer,1818-1889)在课堂上向皮克太 特(R.Pictet)等学生讲解：“连续函数必定可微”的流行观念是错误的，并给出了一个类似 维尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815-1897)函数的反例。黎曼(G.F.B.Riemann, 1826-1 866)的学生曼海姆(J.H.Manheim)等人回忆说，大约在1861年，黎曼在讲座中提到了类似的 例子，但未发表。

不过，1970年有人证明，塞莱里埃函数和黎曼函数不同于维尔斯特拉斯函数，它们不是处处 不可微的，在某些点上它们是有导数的。

1872年7月18日，维尔斯特拉斯向柏林科学院报告了分析学中的一个反例--一个处处连续、 但处处不可微的三角函数级数，即著名的维尔斯特拉斯函数。不过此函数直到1875年才由 杜布瓦-雷蒙(E.du Bois-Reymond)正式发表出来。

据考察，在维尔斯特拉斯之前，已有不少数学家知道存在所谓的“维尔斯特拉斯函数”，但 都耻于发表它!因为它破坏了分析学的完美性。大约在1834年波尔查诺(B.Bolzano，1781-18 48)构造过类似的函数，但他可能并不知道它有那样“可怕的”性质。

1883年，康托尔(G.F.P.Cantor,1845-1918)构造了三分集，也叫康托尔非连续统(Cantor di scontinuum)。它与实直线是相对立的，当时人们觉得它几乎是病态的。如今它已成为分形 几何学的最典型、最简单的模型。

1890年，皮亚诺(G.Peano,1858-1932)提出充满空间的曲线——皮亚诺曲线。

1891年，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)在《数学年刊》(Mathematische Annalin )上发表短文，提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。

1904年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch,1870-1924)构造出柯赫雪花曲线。

1915-1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski,1882-1969)构造了谢氏曲线、海绵、 墓垛。谢氏地毯是平面万有曲线(plane universal curve),谢氏海绵是空间万有曲线。奥地 利数学家门格尔(K.Menger)证明，任何曲线都可嵌入谢尔宾斯基地毯中。

1918年，康托尔去世。

1919年，豪斯道夫(F.Hausdorff,1868-1942)给出维数的新定义，为维数的非整化提供了 理论基础。

1918-1920年左右，法国数学家朱丽亚(G.Julia,1893-1978)、法图(P.J.L.Fatou,1878-1929 )研究复迭代。朱丽亚于1918年(当时他25岁)在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了长达1 99页的杰作，一举成名。

1924年11月20日芒德勃罗生于波兰。



1925年柏林大学的克莱默(H.Cremer)组织讨论班学习朱丽亚的工作，并首次手工绘制了朱丽 亚集的图象。

1926年，洛特卡(A.J.Lotka,1880-1949)提出洛氏定律。里查逊就“风”是否具有一定的速 度发表议论。

1932年，庞特里亚金(L.S.Pontryagin,1908- )给出盒维数的定义。

1934年，贝塞克维奇(A.S.Besicovich,1891-1970)给出维数新定义。

1936年芒德勃罗全家迁到巴黎。大约在1945年，他的叔叔芒德勃罗伊(S.Mandelbrojt,1899- 1983)向他介绍了朱丽亚的工作，但当时他并不喜欢朱丽亚那一套。可是大约在1977年，芒 德勃罗自觉地回到了朱丽亚的论文里汲取营养。

40年代末齐夫(G.K.Zipf，1902-1950)总结出不同语言中词频分布的幂律关系。

1952年，芒德勃罗获博士学位。

1954年，波兰数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,1887-1972)讨论“长度”悖论，引起芒德勃 罗注意，芒氏在1967年的“海岸线”文章中引用过此文。

1961，1963，1965年芒德勃罗开始研究棉花价格，帕累托(V.Pareto,1848-1923)收入分布。

1967年，芒德勃罗在《IEEE信息理论学报》上发表论文《具有1/f谱的某些噪声，直 流与白噪声之间的一座桥梁》。

1967年芒德勃罗在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的 著名论文。

1968年美国生物学家林德梅叶(A.Lindenmayer,1925-1989)提出研究植物形态与生长的“L系 统”方法。1990年普鲁辛凯维奇(P.Prusinkiewicz)与林氏出版《植物的算法美》(The Algorithmic Beauty of Plants)一书。史密斯(A.R.Smith)等人80年代将L系统引入计 算机图形学，L系统从此广为人知。现在，L系统是生成分形图形的最典型方法之一。

1975年，芒德勃罗创造分形(fractal)一词，以法文出版专著《分形对象》；沃斯(R.F.Voss ,1948- )用分形的思想研究音乐中的1/f噪声问题。沃斯在计算机上制作出“分形山 脉”(被芒氏引作1977年专著的封底)。

1977年，芒德勃罗出版英文版专著《分形：形、机遇与维数》，它是1975年法文版《分形对 象》的增补本。

1977年9月在英国塞尔福特(Salford)举行颗粒粒度分析会议，分形思想引入粒度分析。

1981年，美国洛斯阿拉莫斯(Los Alamos)国立实验室成立非线性研究中心(CNLS)，以后世界 各国相继成立许多非线性科学中心。

1981年维腾(T.A.Witten)和桑德(L.M.Sander)提出著名的DLA分形生长模型。

1982年，芒德勃罗出版《分形：形、机遇与维数》一书的增补版，改名《大自然的分形几何 学》。

80年代初，弗尔聂(A.Fournier)、富塞尔(D.Fussell)、卡本特(L.Carpenter)将分形图形推 向好莱坞影视业，主要影片有《星际旅行之二：可罕之怒》(Star Trek Ⅱ：The Wrath of Khan)、《最后的星球斗士》(The Last Starfighter)。

1982年，道阿弟(A.Douady)和哈伯德(J.H.Hubbard)等证明芒德勃罗集是单连通的。

1983年格拉斯伯格（P.Grassberger)和普洛克西娅(I.Procaccia, http://chemphys.weizmann.ac.il/~cfprocac/ home.html）提出了从实验数据序列求分维的算法，现在通称为G-P算法。

1984年《数学信使》(The Mathematical Intelligencer)杂志和德国的《GEO》杂志 刊登布来梅大学动力系统研究小组的分形艺术图片。

1985年，芒德勃罗荣获巴纳杰出科学贡献奖章(Barnard Medal for Meritorious Service t o Science)。1985年5月，芒氏受邀请去布来梅大学为分形艺术图形展览揭幕。

1985年法尔柯内(K.J.Falconer)的专著《分形集的几何学》(The Geometry of Fractal Sets)出版。

1985年昂伯格（D.K.Umberger）和法默（J.D.Farmer）提出胖分形(fat fractal)概念。胖 分形是指具有分形边界且勒贝格(H.L.Lebesgue,1875-1941)测度不为零的集合。胖分形的勒 贝格测度为非零有限值，维数为整数而且与所在的欧氏空间维数相等。分维已经不是描述胖 分形的敏感参数，需要引入胖分形指数来刻画它。

80年代中期美国洛斯阿拉莫斯非线性科学中心将非线性科学要研究的问题归纳为三个方面： 1)孤子和拟序结构；2)混沌和分形；3)斑图(patterns)的形成。

1986年，芒德勃罗荣获富兰克林奖章。

1986年北京大学成立非线性科学中心，挂靠在力学系。

1986年培特根(H.-O.Peitgen,1945- )和里希特(P.H.Richter)出版《分形之美：复动力系 统图象》画册，书中包括88幅全彩色分形图形，分形图形艺术正式诞生，此书1987年荣获“ 杰出技术交流奖”(Distinguished Technical Communication Prize)。

1986年迪万内(R.L.Devaney,1948- )的专著《混沌动力系统导论》(Introduction to Ch aotic Dynamical System)出版，该书以很大篇幅讲述与分形有关的复解析动力学。

1985-1988年，巴恩斯利(M.F.Barnsley,1946- )等人研究迭代函数系统(IFS)，试图解决图 形生成的逆问题--对已知图象找分形压缩算法，创建分形图形公司，分形技术开始推向市 场，1988年出版专著《处处得分形》(Fractal Everywhere)。

1987年芒德勃罗荣获亚历山大·洪堡奖(Alexander von Humboldt Prize)，1988年荣获斯坦 因迈兹奖章(Steinmetz Medal)。

1988年费德(J.Feder)著《分形》一书出版。

1988年，纽约时报记者格莱克(J.Gleick,1954- , http://www.around.com)著畅销书《混沌：开创新科学》(Chaos:Making a New Science)出版，该书先后被译成近20种文字，书中收有多幅彩色分形图片。

1989年芒德勃罗荣获哈维(Harvey)奖。

1989年7月在成都四川大学召开“第一届全国分形理论及应用学术讨论会”。1991年11月在 武汉华中理工大学召开第二届会议。1993年10月在合肥中国科技大学召开第三届会议。

1990年英国成立了一家利用混沌/分形理论生产并出售计算机艺术品的商店“Strange Attra ctions”。

1990年李后强(1962- )、程光钺著《分形与分维》由四川教育出版社出版。

1991年英国创办国际学术性刊物《混沌、孤子和分形》(Chaos,Soliton and Fractals )。

1991年芒德勃罗荣获内华达奖章(Nevada Medal)。

1991年底中国国家攀登计划“非线性科学”项目(“八五”期间1991-1995)启动，到1995年 五年总资助金额498万，首席科学家为谷超豪(1926- )教授，挂靠单位为北京大学非线性科 学中心。“八五”期间在该项目资助下共发表论文1111篇，被《科学引文索引》(SCI)收录3 84篇。

1992年崔锦泰(C.K.Chui)著《小波导论》(An Introduction to Wavelets)在美国出 版。小波(wavelet)分析与分形联系日益紧密。

1993年新加坡创办国际学术性刊物《分形》(Fractals)。

1993年李后强、汪富泉(1955-)著《分形理论及其在分子科学中的应用》由科学出版社出版 。

1993年李后强等主编《分形理论的哲学发轫》由四川大学出版社出版。

1993年芒德勃罗荣获沃尔夫物理学奖(Wolf Prize in Physics)。1994年11月17日芒德勃罗 荣获本田奖(Honda Prize)。

1995年美国佐治亚理工学院著名学者、“混沌传教士”福特(Joseph Ford)不幸去世。在去 世前不久，他还热情地回答了作者的一些问题，并寄来许多材料。为表示对福特的纪念，作 者特别求助朋友用Internet传来一幅彩色照片(见左图)。福特去世的讣文发表在《今日物理 学》(Physics Today)1995年10月号。

1995-1996年中国科协“青年科学家论坛”两次举行非线性科学研讨会。

1995年王东生、曹磊著《混沌、分形及其应用》由中国科学技术大学出版社出版。

1996年北京大学非线性科学中心创办英文杂志《非线性科学与数值模拟通讯》(Communic ations in Nonlinear Science & Numerical Simulation)，在Internet上发行，由陈 耀松(1928- )任主编。此杂志现已被美国《工程索引》(EI)检索。

1996年4月中央工艺美术学院、北京市科协等主办“