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数学语言为什么有普遍的表达能力?

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这涉及到数学语言是如何刻画差异的问题

第一种回答是：数学语言建立在集合论之上，而集合论是一种以个体为基础的表达语言，即一种物理语言表达方式，所以具有表达的普遍性。数学语言的界限，那就是集合论的表达界限。这具有相当强的解释能力。

第二种回答是：传递函数使数学语言具有普遍的表达能力，因为信息处理的观点具有普遍的意义，而传递函数很好地表达了信息处理，所以数学语言有普遍的适用性。我们知道，系统论的研究方法就是采用这一表达方法，所以系统论和信息论广泛适用一切领域。

第三种回答是：从哲学上看，计算的数学是在\"做什么\"，而语言的数学要求显示\"是什么\"。如何我们承认谓词的操作性语义定义，即谓词就是\"做什么\"的界定。这样，计算的数学就获得了描述显示的普遍性，它同时就有了刻画差异的能力。这其实也是集合论的语言，即界定一个集合的特征函数法。

这才触及到数学语言的本质。

语言的作用是显示事物的差异，所以，数学要成为一种语言，从根本上讲，就是要具有显示差异的功能。这是语言的数学区别于计算的数学关键要点。

那么数学是如何刻画差异呢？

数学中引入了数量概念，所以能够比自然语言的概念更细致入微的刻画差异，这没有错，但是如果以为这就是数学语言的特点，是它胜于自然语言之处，那就大大错了。

数学并不仅仅是计算，并不是以定量表达取胜。

这里的关键是对差异的新理解。在数学语言那里，差异表现为一种非对称性，一种序关系。它不是定量的差异，而是定性的差异，所谓定性差异就是事物结构上的差异，一种特定关系的刻画，一种序型的刻画，比如表现在一个流程图中的序型刻画，而数量关系仅是最简单的一种序型：即所谓的全序。所以，数学语言的重点是结构刻画，关系刻画，非对称性刻画，也就是定性刻画。

求解方程，是计算的数学。而关于方程可解性的研究，引出了群的概念，就是结构的研究，从而建立代数结构。这就成为了数学语言，而不是一种算术，因为它具有了模型功能和显示结构的功能。数学语言为什么优于自然语言，在很大程度上就是数学语言能更好地表达结构，自然语言对此却比较笨于表达。

结构是什么？结构也是各种关系。《表达的探究》提供了数学语言是如何刻画差异的，刻画非对称性的四个典型方法，即\"对应\"，\"构造\"，\"闭环\"和\"相关\"。\"对应\"一对一关系，\"构造\"是多对一的组合关系，而\"闭环\"是一对多的关系，\"相关\"从最广泛的意义上表达了一种非对称的关系。数学中的各种空间：度量空间，拓扑空间，代数空间就是制定好的现成结构，它可以作为描述模型供各种学科引用。

详细信息请参见表达的探究网站:
www.yushan58.blogchina.com